forum.zadania.info

Witam
Proszę o rozwiązanie całek:
1) \(\int_{0}^{ \infty } e^{ax} \sin bxdx\) a i b to stałe
2) \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{(2-x) \sqrt{1-x} }\)
3) \(\int_{0}^{ \infty } \frac{dx}{1+x^4}\)
4) \(\int_{0}^{ \infty } \frac{dx}{x \sqrt{1+x^5+x^10} }\)
5) \(\int_{0}^{ \infty } \frac{x lnx}{(1+x^2)^2}dx\)

Z góry dziękuję

a sam nie potrafisz sięgnąć do literatury ?

Nie mam nawet pojęcia jak zacząć. Od wczoraj siedzę przy książkach, ale niestety nie wychodzi ;/ Próbowałem różnych podstawień i nic ;/

Weźmy drugi przykład (nie ma tam żadnych a ani b).
\(D=(- \infty ,1)\). Ponieważ \(1 \notin D\), więc \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{(2-x) \sqrt{1-x} } = \Lim_{c\to 1^-} \int_{0}^{c} \frac{dx}{(2-x) \sqrt{1-x} }\)

Tak czy siak, całkę nieoznaczoną \(\int \frac{dx}{(2-x) \sqrt{1-x} }\)trzeba policzyć.
Podstawiając \(1-x=t^2 \So 2-x=1+t^2,\,\,\, -dx=2tdt \So dx=-2tdt\) otrzymujemy \[\int \frac{dx}{(2-x) \sqrt{1-x} }=-2\arctg \sqrt{1-x} +C\] Teraz
\(\int_{0}^{c} \frac{dx}{(2-x) \sqrt{1-x} }=-2\arctg \sqrt{1-c}+2\arctg \sqrt{1-0}= \begin{vmatrix}fakt\\\arctg1= \frac{\pi}{4} \end{vmatrix}= \frac{\pi}{2}-2\arctg \sqrt{1-c}\)

Ponieważ \(\Lim_{c\to1^- }\frac{\pi}{2}-2\arctg \sqrt{1-c}= \frac{\pi}{2}-0= \frac{\pi}{2}\), więc

• Odp.: \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{(2-x) \sqrt{1-x} }= \frac{\pi}{2}\)

Spróbuj inne, jeśli napotkasz na KONKRETNE problemy - pisz.