forum.zadania.info

mam kłopot z takim równaniem.

\(2cos^2(3x+ \pi )=1\)

tak do niego podchodzę.

\(cos^2(3x+ \pi )= \frac{1}{2}\)

ze wzoru redukcyjnego

\(\left( -cos \left( 3x \right) \right)^2 = \frac{1}{2}\)

posiłkuję się Mathcadem by krok po kroku sprawdzać co robię dobrze i kiedy próbuję to obustronnie spierwiastkować to wychodzi mi zły wynik ... dlaczego nie mogę tego obustronnie spierwiastkować ?

Robert Rydwelski pisze:mam kłopot z takim równaniem.

\(2cos^2(3x+ \pi )=1\)

tak do niego podchodzę.

\(cos^2(3x+ \pi )= \frac{1}{2}\)

ze wzoru redukcyjnego

\(\left( -cos \left( 3x \right) \right)^2 = \frac{1}{2}\)

posiłkuję się Mathcadem by krok po kroku sprawdzać co robię dobrze i kiedy próbuję to obustronnie spierwiastkować to wychodzi mi zły wynik ... dlaczego nie mogę tego obustronnie spierwiastkować ?

możesz
\(\cos 3x=\frac{\sqrt{2}}{2}\;\;\; \vee \;\;\;\cos 3x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\
3x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\;\;\;\vee\;\;\;3x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\;\;\;\vee\;\;\;3x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\;\;\;\vee\;\;\;3x=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{C}\\
x=\frac{\pi}{12}+\frac{2}{3}k\pi\;\;\;\vee\;\;\;x=-\frac{\pi}{12}+\frac{2}{3}k\pi\;\;\;\vee\;\;\;x=\frac{\pi}{4}+\frac{2}{3}k\pi\;\;\;\vee\;\;\;x=\frac{\pi}{4}+\frac{2}{3}k\pi, k\in\mathbb{C}\)

Oznacz \(3x+\pi=t\)
\(cos^2t=\frac{1}{2}\\cost= \sqrt{ \frac{1}{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{2}\\lub\\cost=- \frac{ \sqrt{2} }{2}\)
Stąd liczysz t
\(t= \frac{\pi}{4}+2k\pi\;\;lub\;\;\;t=- \frac{\pi}{4}+2k\pi\\lub\\t= \frac{3\pi}{4}+2k\pi\;\;lub\;\;t=- \frac{3\pi}{4}+2k\pi\)
Powracasz do niewiadomej x.
\(3x+\pi= \frac{\pi}{4}+2k\pi\;\; \So \;\;3x=- \frac{3\pi}{4}+2k\pi \;\; \So \;x=- \frac{\pi}{4}+ \frac{2}{3}k\pi\)
Analogicznie w pozostałych trzech wzorach na t.

tak i ja policzyłem ale odpowiedź jest \(\frac{ \pi }{12}\)

i taka jest tez odpowiedź mathcada kiedy wpisuję to równanie.

rozwiązując krok po kroku odpowiedź nie zmienia się do momentu obustronnego pierwiastkowania

pierwiastkując

\((−cos(3x))^2= \frac{1}{2}\)

otrzymuję

\(-cos(3x) = \frac{ \sqrt{2} }{2}\) ale to zmienia wynik w mathcadzie na taki \(\frac{ \pi }{4}\) i \(\frac{5 \pi }{12}\)

o co chodzi