forum.zadania.info

Krawędź boczna prawidłowego ostrosłupa czworokątnego ma długość a i tworzy z krawędzią podstawy kąt o mierze \(\alpha\). Oblicz objętość ostrosłupa.

b - krawędź podstawy

\(\cos\alpha =\frac{0,5b}{a}\\
a\cos\alpha =0,5b\\
2a\cos\alpha =b\)

\(H^2+(0,5b\sqrt{2})^2=a^2\\
H^2+0,5b^2=a^2\\
H^2+0,5\cdot 4a^2\cos^2\alpha =a^2\\
H^2=a^2-2a^2\cos^2\alpha\\
H^2=a^2(1-2\cos^2\alpha)\\
H=a\sqrt{-\cos 2\alpha}\)


\(V=\frac{1}{3}\cdot4a^2\cos^2\alpha\cdot a\sqrt{-\cos 2\alpha}\\
V=\frac{4a^2\cos^2\alpha\sqrt{-\cos 2\alpha}}{3}\)