forum.zadania.info

Do wykresu funkcji f(x)=\(\frac{2x+1}{x+2}\) poprowadzono styczną która tworzy z osią ox kąt o mierze alfa=45 Oblicz współrzędne punktów styczności i napisz równanie stycznych.

\(f'(x)=\frac{2(x+2)-2x-1}{(x+2)^2}\\
f'(x)=\frac{2x+4-2x-1}{(x+2)^2}\\
f'(x)=\frac{3}{(x+2)^2}\\\)

styczna:
\(y=ax+b\\
a=\tg 45^{\circ}\\
a=1\\
f'(x_0)=1\\
\frac{3}{(x_0+2)^2}=1\\
3=(x_0+2)^2\\
x_0+2=\sqrt{3}\;\;\; \vee \;\;\;x_0+2=-\sqrt{3}\\
x_0=\sqrt{3}-2\;\;\;\vee\;\;\;x_0=-2-\sqrt{3}\\
f(\sqrt{3}-2)=2-\sqrt{3}\\
f(-\sqrt{3}-2)=2+\sqrt{3}\)

punkty styczności
\(A(\sqrt{3}-2,2-\sqrt{3})\\
B(-\sqrt{3}-2,2+\sqrt{3})\)

styczna w A:
\(y=x+4-2\sqrt{3}\\\)

styczna w B:
\(y=x+4+2\sqrt{3}\)

Bez pochodnych (!!) znając własności wykresu funkcji homograficznej

1) Przekształcasz wzór funkcji homograficznej do postaci kanonicznej.

\(f(x) = \frac{-3}{x+2} + 2\)

Z tej postaci nawet wygodniej wyznaczyć pochodną tą wcześniejszą metodą

2) Określasz równanie osi symetrii przecinającej wykres funkcji f(x)

\(y= -x\)

3) Szukane styczne (prostopadłe do osi symetrii, bo tylko te będą pod kątem \(45^ \circ\) do osi OX) mają więc postać \(y =x+b\)

4) Znajdujesz punkty przecięcia tej osi symetri (2) z wykresem \(f(x)\)

\(P_A=(-2+ \sqrt{3}; 2- \sqrt{3} )\)
\(P_B=(-2- \sqrt{3}; 2+ \sqrt{3} )\)

5) Znajdujemy nas podstawie (4) i (3) równania stycznych

\(y= x + 4+2 \sqrt{3}\)
\(y= x + 4-2 \sqrt{3}\)