ostrosłupy
: 04 mar 2017, 20:05
Dane są ostrosłupy prawidłowe sześciokątne o krawędzi bocznej długości 8cm. Oblicz krawędź podstawy tego z ostrosłupów który ma największą objętość.
a - krawędź podstawy
H - wysokość ostrosłupa
\(H^2+a^2=8^2\\
a^2=64-H^2\)
\(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\cdot H\\
V(H)=\frac{(64-H^2)\sqrt{3}}{2}\cdot H\\
V(H)=\frac{\sqrt{3}}{2}(64H-H^3)\\
H\in (0,8)\\
V'(H)=\frac{\sqrt{3}}{2}(64-2H^2)\\
V'(H)=0\iff 32-H^2=0\iff\;H=\pm 4\sqrt{2}\\
V'(H)>0\iff H\in (0,4\sqrt{2})\\
V'(H)<0\;\;\iff\;\;H\in (4\sqrt{2},8)\\
V_{max}=V(4\sqrt{2})\\
a^2=64-H^2\\
a^2=64-32\\
a^2=32\\
a=4\sqrt{2}\)