forum.zadania.info

Dla jakich liczb naturalnych n =0,1,2,3... zachodzi następująca nierównosc:

\(30n < 2^n+150\)

Odpowiedź trzeba uzasadnić.

Robię to tak że najpierw sprawdzam po kolei ze dla n=0 jest prawda, potem dla n=1 też jest prawda.
Ale potem robie tak że przyjmuję że \(n=k+1\) i dochodzę do zapisu:
\(30(k+1) < 2^{(k+1)}+150\) i nie wiem co dalej z tym zrobić,
Proszę o pomoc.

Nic dziwnego, to nie takie jak zwykle zadanie.
Przekształcam nieco nierówność: \(30n-150<2^n \iff 30(n-5)<2^n\)
Dla \(0\le n \le 4\) nierówność jest oczywista, bo prawa strona jest dodatnia, a lewa ujemna.
Dla \(n\ge5, \,\,\, 2^n\ge2^5=32 \So 2^n>30, \,\, dla \,\,\,n\ge5\). Wtedy

dla n=5 twierdzenie jest prawdziwe. Załóżmy prawdziwość dla \(n=k\ge5\).
Dla n=k+1, mamy
\(30(k+1)=30k+30=30+30k< \begin{vmatrix}30<2^k &\text{ patrz wyżej }\\30k<2^k+150&\text{ z założenia} \end{vmatrix} <2^k+(2^k+150)=\\=2\cdot2^k+150=2^{k+1}+150\)
- i po sprawie.