forum.zadania.info

W pierścieniu \(Z_7\) znaleźć wartości parametrów a, b tak aby wielomian
\(W(x) = 2x^5+ax^2+bx+3\) był podzielny przez \(Q(x) = 2x^2+3\)

Prosiłbym o wytłumaczenie jak rozwiązać takie zadanie

Trzeba poszukać dla jakich \(x_0,\,\,\, Q(x_0)=0\). Wtedy \(W(x_0)=P(x_0)Q(x_0)=0\)
Oczywiście wszystkie równości są modulo 7.
\(x=1 \So Q(x)=2+3=5\equiv 5 \,\,(\mod7)\\
x=2 \So Q(x)=2 \cdot 4+3=11\equiv 4\,\, (\mod7)\\
x=3 \So Q(x)=2 \cdot 9+3=21\equiv0\)

Szukanymi liczbami są \(\,\,x_1=3,\,\,\, x_2=-3\)

• \(W(3)=2 \cdot 3^5+9a+3b+3\equiv\begin{vmatrix} 2 \cdot 3^5=486\equiv3\\9\equiv2\\-6\equiv1\end{vmatrix} \equiv 3+2a+3b+3\\
  W(3)\equiv0 \iff2a+3b\equiv-6 \iff 2a+3b\equiv1\)

• \(W(-3)=-486+9a-3b+3\equiv \begin{vmatrix}-486\equiv4\\9\equiv2 \end{vmatrix} \equiv2a-3b+7\equiv2a-3b\\
  W(-3)\equiv0 \iff 2a-3b\equiv0\)

Szukane a i b znajdziemy rozwiązując układ równań
\(\begin{cases}2a+3b\equiv1\\2a-3b\equiv0 \end{cases} \So 4a\equiv1 \iff a\equiv2\\
4-3b\equiv0 \iff 3b\equiv4 \iff b\equiv6\)

Wielomian \(W(x)=2x^5+2x^2+6x+3\) jest podzielny w pierścieniu \(\zz_7\) przez \(Q(x)=2x^2+3\)

I wszystko jasne! Dziękuję!