Uzyskaj szereg Tf,, gdy f(x) := ln(1+x), –1<x.
Oblicz promień zbieżności, R, tego szeregu Tf.
Szereg Taylora
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Wzór Taylora można zapisać tak: \(f(x_0+h)= f(x_0)+ \frac{h}{1!} f'(x_0)+ \frac{h^2}{2!}f''(x_0)+ \frac{h^3}{3!}f'''(x_0)+\ldots\)
\(f(x)=\ln x\\
f'(x)= \frac{1}{x}\\
f''(x)= -\frac{1}{x^2} \\
f'''(x)= \frac{1 \cdot 2}{x^3}\\
f^{(iv)}(x)=- \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{x^4}\\
\cdots\\
f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n}\)
\(\ln(1+x)=\ln1+ \frac{x}{1!} \cdot 1+ \frac{x^2}{2!} \cdot (-1)+ \frac{x^3}{3!} \cdot 2+ \frac{x^4}{4!} \cdot (-6)+\ldots=x- \frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} +\ldots= \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}\)
Może promień zbieżności policzysz samodzielnie, co?
\(f(x)=\ln x\\
f'(x)= \frac{1}{x}\\
f''(x)= -\frac{1}{x^2} \\
f'''(x)= \frac{1 \cdot 2}{x^3}\\
f^{(iv)}(x)=- \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{x^4}\\
\cdots\\
f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n}\)
\(\ln(1+x)=\ln1+ \frac{x}{1!} \cdot 1+ \frac{x^2}{2!} \cdot (-1)+ \frac{x^3}{3!} \cdot 2+ \frac{x^4}{4!} \cdot (-6)+\ldots=x- \frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} +\ldots= \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}\)
Może promień zbieżności policzysz samodzielnie, co?