forum.zadania.info

Dla jakich wartości parametru m\((m \in R)\) równanie \(\frac{x^2-2(m+1)x+1}{x^2-4} =0\) ma dwa różne rozwiązania?
Brakuje mi jakiegoś warunku którego nie potrafię wychwycić. Jakaś podpowiedź?
\(x^2-4 \neq 0\)
\(x \neq -2 \wedge x \neq 2\)

\(\Delta >0\)
\((x1)(x2)<0\)

Żadne z rozwiązań równania \(x^2-2(m+1)x+1=0\) nie może być miejscem zerowym mianownika.
\(x \neq 2\\2^2-2(m+1) \cdot 2+1=0\\4-4m-4+1=0\;\; \So \;\;m= \frac{1}{4}\)
Stąd warunek:
\(m \neq \frac{1}{4}\)

\(x \neq -2\\4+4(m+1)+1=0\\4m=-9\\m=-2 \frac{1}{4}\)
Stąd warunek:
\(m \neq -2 \frac{1}{4}\)

Pozostaje tylko \(\Delta>0\)
\(4(m+1)^2-4>0\\
(m+1)^2-1>0\\m^2+2m>0\\m(m+2)>0\\m\in (- \infty ,-2) \cup (0;+ \infty ) \bez \left\{ - \frac{9}{4}; \frac{1}{4} \right\}\)
Ten ostatni warunek gwarantuje różne znaki dla dwóch rozwiązań,a tego nie wymaga autor zadania.