indukcja mat
: 09 lut 2017, 15:34
za pomocą indukcji pokazać, że : \((1+ \frac{a}{b})^m + (1+ \frac{b}{a} )^m \ge 2^m+1\)
Zakładam, że \(m \in \nn _{+}\) oraz \(a\), \(b\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi.
1.
Sprawdzam dla \(m=1\):
\(1+ \frac{a}{b} +1+ \frac{b}{a} \ge 3 \\ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 1\),
co jest prawdą (zachodzi mocniejsza nierówność \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\) równoważna nierówności \((a-b)^2 \ge 0\), później jeszcze z niej skorzystamy).
2.
Udowodnię prawdziwość implikacji:
\((1+\frac{a}{b})^m + (1+ \frac{b}{a})^m \ge 2^m+1 \So (1+\frac{a}{b})^{m+1} + (1+ \frac{b}{a})^{m+1} \ge 2^{m+1}+1\).
W tym celu, pokażemy najpierw, że:
\((1+\frac{a}{b})^{m+1} + (1+ \frac{b}{a})^{m+1} \ge 2 [(1+\frac{a}{b})^m + (1+ \frac{b}{a})^m]\).
Dowód:
\(L-P=(\frac{a+b}{b})^{m+1}+ (\frac{a+b}{a} )^{m+1}-2 (\frac{a+b}{b})^{m}-2 (\frac{a+b}{a})^{m}=(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot ( \frac{a+b}{b}-2)+(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot (\frac{a+b}{a}-2)= \\ =
(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot (\frac{a+b}{b}-2+\frac{a+b}{a}-2)=(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot ( \frac{a}{b}+1-2+1+ \frac{b}{a}-2)=
(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2) \ge 0\)
Zatem:
(\(1+\frac{a}{b})^{m+1} + (1+ \frac{b}{a})^{m+1} \ge 2 [(1+\frac{a}{b})^m + (1+ \frac{b}{a})^m] \ge 2(2^m+1)=2^{m+1}+2>2^{m+1}+1\),
co dowodzi prawdziwości implikacji i kończy dowód indukcyjny.