forum.zadania.info

\(y'-2xy=x-x^3\)
Równanie jednorodne:
\(y'-2xy=0\)
\(\frac{dy}{dx} =2xy/ \cdot dx\)
\(dy=2xydx/:y\)
\(\frac{dy}{y} =2xdx\)
\(\int \frac{dy}{y} = 2\int xdx\)
\(ln y =x^2+c / \cdot e\)
\(y =e^{x^2+c} /\)
Uzmiennienie
\(y =C(x)e^{x^2}\)
\(y' =[C(x)e^{x^2}]=C'(x)e^{x^2}+C(x)e^{x^2} \cdot 2x\)
Podstawiając do \(y'-2xy=x-x^3\):
\(C'(x)e^{x^2}+2xC(x)e^{x^2} -2xC(x)e^{x^2}=x-x^3\)
\(C'(x)e^{x^2}=x-x^3/ \cdot e^{-x^2}\)
\(C'(x)=(x-x^3)e^{-x^2}\)
\(C(x)= \int (x-x^3)e^{-x^2}\)

\(\int (x-x^3)e^{-x^2}= \int xe^{-x^2}dx- \int x^3e^{-x^2}dx\)
\(\int xe^{-x^2}dx =\)
\(t=-x^2\)
\(dt=-2xdx \So - \frac{dt}{2}=xdx\)
\(\int - \frac{dt}{2}e^t = - \frac{1}{2} \int e^tdt=- \frac{1}{2}e^t=- \frac{1}{2}e^{-x^2}+c\)

\(\int x^3e^{-x^2}dx=\)
\(t=-x^2\)
\(dt=-2xdx \So - \frac{dt}{2}=xdx\)
\(\int t \cdot \frac{1}{2}dt \cdot e^t = \frac{1}{2} \int te^tdt\) - I tutaj chyba coś zrobiłem źle...

Na razie wszystko OK. Całkę \(\frac{1}{2} \int te^2dt\) policz całkując przez części, złóż wszystko do qupy, a otrzymasz \[y=Ce^{x^2}+ \frac{1}{2}x^2\]

a dlaczego ten temat jest w "szkole średniej", czyżby program zmienili ?

\(\frac{1}{2} \int te^tdt =\)
\(u=t , v'=e^t\)
\(u'=1 , v=e^t\)
\(\frac{1}{2}(te^t- \int e^tdt) = \frac{1}{2}(te^t-e^t)= \frac{1}{2}(-x^2e^{-x^2}-e^{-x^2})=- \frac{1}{2}x^2e^{-x^2}- \frac{1}{2}e^{-x^2}\)
\(\int (x-x^3)e^{-x^2}= \int xe^{-x^2}dx- \int x^3e^{-x^2}dx =- \frac{1}{2}e^{-x^2}+ \frac{1}{2}x^2e^{-x^2}+ \frac{1}{2}e^{-x^2}= \frac{1}{2}x^2e^{-x^2}\)

\(C(x)= \frac{1}{2}x^2e^{-x^2}\)
\(y= (\frac{1}{2}x^2e^{-x^2}+c)e^{x^2}\)
\(y= Ce^{x^2}+ \frac{1}{2} x^2\)

No i trzeba było tak od razy!