forum.zadania.info

Objętosć graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi 16 pierwiastków z 3 . Zbadaj jakie powinny byc wymiary tego graniastosłupa aby suma długosci wszystkich jego krawędzi była najmniejsza ?

20,70 zł i masz rozwiązanie wraz z rysunkiem i wykresem

\(V=P_p\cdot h\\P_p= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}\\V=16 \sqrt{3}\)
\(\frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot h=16 \sqrt{3}\;/: \sqrt{3}\\ \frac{a^2 \cdot h}{4}=16\\a^2h=64\\a^2= \frac{64}{h}\;\;\;i\;\;\;h>0\)
\(a= \frac{8}{ \sqrt{h} }\)
Suma długości wszystkich krawędzi:
\(6a+3h=6 \cdot \frac{8}{ \sqrt{h} }+3h=f(h)\)
Trzeba wyznaczyć h ,dla którego funkcja f(h) ma najmniejszą wartość.
\(f(h)= \frac{48}{ \sqrt{h} }+3h\\f'(h)=48 \cdot (h^{- \frac{1}{2} })'+(3h)'=48 \cdot (- \frac{1}{2}h^{- \frac{3}{2} })+3=- \frac{24}{h \sqrt{h} }+3\)
Warunek konieczny na ekstremum,to f'=0
\(- \frac{24}{h \sqrt{h} }+3=0\\ \frac{24}{h \sqrt{h} }=3\\ \frac{8}{h \sqrt{h} }=1\\h \sqrt{h}=8\\h=2\)
Na lewo od h=2 funkcja f'(h) ma wartości ujemne,a na prawo dodatnie,zatem dla h=2
funkcja f(h) osiąga minimum.
Dla h=2 krawędź podstawy \(a= \frac{8}{ \sqrt{h} }= \frac{8}{ \sqrt{2} }=4 \sqrt{2}\)
Najmniejsza suma długości krawędzi:
\(6a+3h=6 \cdot 4 \sqrt{2}+3 \cdot 2=6(4 \sqrt{2}+1)\)