Suma i iloczyn cyfr kodu czterocyfrowego.

[Januszgolenia]

Beata zapomniała czterocyfrowego PIN-u do swojego telefonu. Pamiętała tylko, że iloczyn cyfr PIN-u i suma tych cyfr były jednakowe oraz że największa cyfra stała na końcu. Jaka była ostatnia cyfra PIN-u.

[Januszgolenia]

Beata zapomniała czterocyfrowego PIN-u do swojego telefonu. Pamiętała tylko, że iloczyn cyfr PIN-u i suma tych cyfr były jednakowe oraz że największa cyfra stała na końcu. Jaka była ostatnia cyfra PIN-u.

[beata1111]

Mogę tylko podać możliwe odpowiedzi, tej prawidłowej, niestety, nie wymyśliłam sama jestem ciekawa, może kiedyś.....
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) inna cyfra
Tak było w oryginalnym zadaniu. A zadanie jest z konkursu "Alfik Matematyczny", dla klas 6

[Januszgolenia]

Odpowiedź prawidłowa to 4 czyli C. Ale dlaczego nie wiem.

[beata1111]

Może być 4, to, że na końcu, to mało istotne, liczby np 1124 albo 1214 albo 4112, itp, mają sumę i iloczyn cyfr jednakowe. Ale czy tylko 4???
Najpierw zabierałam się do tego jak do zadania z kombinatoryki, za dużo możliwości mi zaczęło wychodzić i dałam spokój. Potem, jak wiedziałam, że testowe, zaczęłam eliminować poszczególne odpowiedzi, ta czwórka faktycznie jest ok, ale czy nie byłoby innej?

[Panko]

Może taka podpowiedź :
Pozwoli wskazać najmniejszą z cyfr : \(xyzt=x+y+z+t\)
Ponieważ wyrażenie jest symetryczne ( odporne na permutacje zmiennych ) to mogę założyć dowolny porządek :
Np : \(x \le y \le z \le t\)
teraz : \(xyzt= x+y+z+t \le 4t\)
stąd \(\\) \(xyz \le 4\)
\(x^3 \le xyz \le 4\)
stąd \(x \le \sqrt[3]{4}\)
czyli \(x=1\)
...............................................................................
czyli teraz mamy równanie : \(yzt=y+z+t+1\) \(\\) i juz łatwiej
...............................................................................
Jeszcze raz powyzsze ; \(yzt=y+z+t+1\) \(\\) : \(y \le z \le t\)
\(\) \(yzt=y+z+t+1\) \(\\) \(\le 3t+1\)
Widać ,że \(\\)\(t>1\) bo wtedy czwórka rozwiązująca musiałaby być \((1,1,1,1)\) \(\\)
Wtedy \(\\) \(yz \le 3+\frac{1}{t} <4\)
Dalej : \(\\) \(y^2 \le yz<4\) .\(\\) .
Stąd \(\(\\)\) \(y=1\)
................................................................................
Teraz już równanie jet wyprostowane bo postaci : \(1 \cdot 1 \cdot z \cdot t =z+t+2\)
Czyli \((z-1)(t-1)=3\) , uff.

[Januszgolenia]

Ale to jest zadanie dla 6 kl.

[Matematyk_64]

Szóstoklasista powinien podejść do tego tak. Gdyby nie było to zadanie zamknięte.
- Najpierw, to że na końcu jest cyfra większa od pozostałych, czyli nie zero, a więc wśród cyferek nie może być zera bo iloczyn wyszedłby zero, a suma zerowa nie będzie.
- Nie może być też 2 i 3 bo gdyby pozostałe były jedynkami, to ostatnia na końcu musiałaby być większa od trzech, bo suma tych początkowych trzech jedynek już daje trzy.
- Ale same jedynki na początku być nie mogą bo iloczyn zawsze byłby równy ostatniej cyfrze, a suma byłaby zawsze o trzy większa, no to musi być wśród tych pierwszych cyfr przynajmniej jedna 2 lub więcej.

Teraz wystarczy, że sprawdzi jak zachowa się pierwszy możliwy układ 1,1,2,4 i osiąga sukces .

Tu kończy, bo ufa zadaniu, że chodzi o jedną konkretną cyfrę i nie kontynuuje zadania, by sprawdzić, czy mogłaby być na końcu 5 lub więcej.