forum.zadania.info

Witam
Mam problem z taką granicą jednostronną:
\(\Lim_{x\to1- }(1-x)^{\sin \pi x}\)
Bardzo proszę o pomoc jak zabrać się do takiego przykładu.

Spróbuj najpierw podstawienie \(t=1-x\)

Wychodzi 1 czy tak ?

Tak powinno wyjść

Dziękuj bardzo za pomoc

Nie wiem jak Ci to wychodzi przy pomocy takiego prostego podstawienia. U mnie to za mało :

\(\Lim_{x\to1- }(1-x)^{\sin \pi x}= \begin{bmatrix} 1-x=t\\x=1-t\\ \Lim_{x\to 1} t=0\end{bmatrix} =\Lim_{t\to 0 }t^{\sin \pi (1-t)}=0^0=?\)


ale też sobie poradziłam :

\(\Lim_{x\to1- }(1-x)^{\sin \pi x}=\Lim_{x\to1- }e^{\ln \left( (1-x)^{\sin \pi x}\right) }=\Lim_{x\to1- }e^{\ln \left( (1-x)^{\sin \pi x}\right) }=(*)\)

policzmy granicę
\(\Lim_{x\to 1 } \ln \left( (1-x)^{\sin \pi x}\right)= \Lim_{x\to 1 } \ln \left( (1-x)^{\sin \pi x}\right)= \Lim_{x\to 1 } \frac{\ln \left( 1-x\right)}{ \frac{1}{\sin \pi x} }=^H=\Lim_{x\to 1 } \frac{- \frac{1}{1-x} }{ -\frac{\pi\cos \pi x}{\sin^2 \pi x} }=\Lim_{x\to 1 } \frac{\sin^2 \pi x}{(1-x)\pi\cos \pi x} =\\
\Lim_{x\to 1 } \frac{ \sin \left( \pi-\pi x\right) \cdot \sin \pi x }{\left( \pi-\pi x\right) \cos \pi x} =\Lim_{x\to 1 } 1 \cdot \tg \pi x=0\)


zatem \((*)=e^0=1\)

I to jest granica obustronna ( a nie tylko lewostronna)

podstawienie na początek, żeby się \(1-x\) nie plątało

\(\Lim_{x\to 1-} (1-x)^{sin \pi x} = \Lim_{t\to 0+} t^{sin (\pi -t \pi )} = \Lim_{t\to 0+} t^{sin (t \pi )}\)

Teraz z twierdzenia o granicy funkcji złożonej (sprawdzenie założeń pozostawiam do samodzielnej weryfikacji)

\(\Lim_{t\to 0+ } {sin (t \pi )} = 0\)
\(\Lim_{t\to 0+} t^0 = 1\)

stąd poszukiwana granica jest równa 1

@ matematyk \(0^0\) to symbol nieoznaczony:

radagast, ale granica \(\Lim_{x\to 0+ } x^0 = 1\).

Naprawdę trzeba to też udowadniać?

matematyk:
a ile to jest \(\Lim_{x\to 0^+} x^{ \frac{1}{\ln \frac{1}{x} } }\) ?


(mi wychodzi \(\frac{1}{e}\). Nijak nie chce wyjść 1 , mimo że to \(x^0\) )

radagast:
Bo w tym przykładzie nie są spełnione założenia dla użycia twierdzenia o granicy funkcji złożonej.
Generalnie mamy tu funkcje wielokrotnie złożoną i na każdym etapie muszą być spełnione założenia.
I tak tu już polegniemy na argumencie tego logarytmu w mianowniku wykładnika czyli na \(1/x\)
Tak intuicyjnie jak już jakiś element jest rozbieżny to porażka.

nie rozumiem
czy funkcja \(f(x)=(1-x)^{\sin \pi x}\) jest juz "wielokrotnie złożona" ?
I wogóle co to znaczy "wielokrotnie złożona" ?

Ta Twoja jest złożeniem czterech (od zewnątrz)

1) Potęga o podstawie X
2) odwrotności
3) logarytmu naturalnego
4) z odwrotności x

No to cztery

Ta początkowa jacka złożeniem dwóch - ta już uproszczona przez podstawienie.

1) Potęga o podstawie x
2) sinusa \(( \pi x)\)

W twierdzeniu o którym mówię jednym z założeń jest to, że granice funkcji wewnętrznej muszą być punktem skupienia dla funkcji zewnętrznej. W przykładzie jacka tak jest w Twoim niestety nie.

Da się to jakoś uprościć ?
żeby student wiedział:
mam granicę typu \(0^0\) to....
itd... (wiesz o co chodzi ? )

Wszystko w sumie zależy od przykładu Najpierw trzeba sobie rozpoznać złożenie funkcji. Student musi to dobrze przećwiczyć. I jeśli idąc od wewnątrz natrafimy np. na granicę dążącą do nieskończoności - rozbieżną, albo brak granicy, albo nie należącą do dziedziny funkcji zewnętrznej to nie tędy droga. Częsty błąd to własnie używanie twierdzenia bez zwracania uwagi na założenia. I to nie tylko w tym twierdzeniu