forum.zadania.info

Wyznacz asymptoty funkcji g:
\(g(x)=x*ln( \frac{1}{x} + e)\)

Cholernie dziwny przykład, będę wdzięczny za pomoc.

Najgorsze są takie przykłady, które wyglądają niewinnie.

1. Dziedzina.
   \(\frac{1}{x}+e>0 \iff \frac{1+ex}{x}>0 \iff x\neq0 \wedge x(1+ex)>0 \iff x\in (- \infty ,- \frac{1}{e}) \cup (0,+ \infty )\)
2. Granice na końcach przedziału.
   \(\Lim_{x\to- \infty } x\ln(e+ \frac{1}{x})=- \infty \quad \left[ - \infty \cdot \ln(e+0)=- \infty \right] \\
   \Lim_{x\to- \frac{1}{e}^- } x\ln(e+ \frac{1}{x})=+ \infty\quad \left[- \frac{1}{e}(- \infty )=+ \infty \right]\\
   \Lim_{x\to 0^+}x\ln(e+ \frac{1}{x})= \Lim_{x\to0^+ } \frac{ \ln(e+ \frac{1}{x})}{ \frac{1}{x} } {H\atop =} \Lim_{x\to 0^+ } \frac{ -\frac{1}{x^2} }{ \frac{1}{x}+e } \cdot \frac{1}{ -\frac{1}{x^2} }= \Lim_{x\to 0^+} \frac{x}{1+ex}=0\\
   \Lim_{x\to+ \infty }x\ln(e+ \frac{1}{x}) =+ \infty \quad \left[ + \infty \cdot \ln(e+0)=+ \infty \right]\)

Wniosek: lewostronna asymptota pionowa \(\,\,x=- \frac{1}{e}\)

Szukamy asymptoty ukośnej \(y=ax+b\)

• \(a= \Lim_{x\to \infty } \frac{g(x)}{x}= \Lim_{x\to \infty } \ln(e+ \frac{1}{x} )=1\\
  b= \Lim_{x\to \infty } \left( g(x)-ax\right)= \Lim_{x\to \infty }x \left(\ln(e+ \frac{1}{x})-1 \right)= \Lim_{x\to \infty } x \ln\frac{e+ \frac{1}{x} }{e}=\\= \Lim_{x\to \infty } \frac{\ln \left( 1+ \frac{1}{ex} \right) }{e \frac{1}{ex} }= \begin{vmatrix}t= \frac{1}{ex}\\x \to \infty \So \frac{1}{ex}=t \to 0 \end{vmatrix}= \frac{1}{e} \Lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}= \frac{1}{e} \cdot 1= \frac{1}{e}\)

Wniosek: asymptota ukośna \(\,\, y=x+ \frac{1}{e}\)

Czyli asymptota ukośna będzie taka sama w + i - oo?

Tak z tego wynika.

A jeszcze miałbym pytanie z podobnej dziedziny: Jak wyznaczyć największą wartość tej funkcji? Dziedzina pochodnej wychodzi mi inna niż dziedzina funkcji i nie wiem jak to interpretować.
\(f(x)=x^{-x}\)

A jaka masz dziedzinę funkcji (tak z ciekawości pytam)? Napisz jaka ci pochodna wyszła?
A tak na marginesie - funkcja ma maksimum dla \(x=e^{-1}\).

Ufff, czyli jednak mi dobrze to maksimum wyszło. Dziedzina funkcji to R\{0}, a dziedzina pochodnej, (0, +oo). Przynajmniej mi tak wyszło.

\(f(x)=x^{-x}\;\;\;\;\;x>0\)
\(x=e^{lnx}\\f(x)=(e^{lnx})^{-x}=e^{-xlnx}\)
\(f'(x)=(-1\cdot lnx\;-x\cdot \frac{1}{x}) \cdot e^{-xlnx}=(-lnx-1)e^{-xlnx}\)
\(f'(x)=0\\-1-lnx=0\\lnx=-1\\x=e^{-1}= \frac{1}{e}\)
\(f_{MAX}=f( \frac{1}{e} )=f(e^{-1})=(e^{-1})^{-1 \cdot e^{-1}}=e^{e^{-1}}=e^{ \frac{1}{e} }\)

Dziedzina funkcji to też\((0,+\infty)\). Dla ujemnych iksów też nie ma wartości.