forum.zadania.info

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzi nierówność: \(x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}\ge2(x^{3}+y^{3})\).

mtworek98 pisze:Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzi nierówność: \(x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}\ge2(x^{3}+y^{3})\).

\(x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}\ge2(x^{3}+y^{3}) \iff x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}-2(x^{3}+y^{3}) \ge0\)
tymczasem:
\(x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}-2(x^{3}+y^{3}) =\\
x^{4}-2x^3+x^{2}+y^{4}-2y^{3}+y^{2}=\\
x^2 \left( x^{2}-2x+1\right) +y^2 \left( y^{2}-2y+1\right)=\\
x^2 \left( x-1\right)^2 +y^2 \left( y-1\right)^2 \ge 0\)