Miejsca geometryczne środków cięciw

[NieRozumiem85]

Znaleźć miejsce geometryczne środków cięciw paraboli przechodzących przez jej ognisko.

[Panko]

ognisko paraboli \(F=(\frac{1}{2}p,0)\)
pęk prostych wyznaczony przez ognisko : \(y=a( x- \frac{1}{2}p)\)
punkty przecięcia powyższych prostych z parabolą : \(x_1,y_1),(x_2,y_2)\) --wynikają z rozwiązania układu
\(\begin{cases}y^2=2px\\ y=a( x- \frac{1}{2}p) \end{cases}\)
.............................................................................................
rozwiązuję względem \(x\) i porządkuję do równania kwadratowego : \(a^2( x- \frac{1}{2}p )^2=2px\)
\(a^2x^2-(a^2p+2p)x+\frac{a^2p^2}{4}=0\)
teraz z e wzorów Viete,a liczę sumę pierwiastków czyli \(\\)\(\\) \(x_1+x_2=\frac{a^2p+2p}{a^2}\)
oznaczam wsp x środka cięciwy : \(x_c=\frac{x_1+x_2}{2}\) czyli \(x_c=\frac{a^2p+2p}{2a^2}\)
.............................................................................................
rozwiązuję względem \(y\) i porządkuję do równania kwadratowego : \(y=a( \frac{y^2}{2p} -\frac{1}{2}p)\)
\(ay^2-2py-ap^2=0\)
teraz ze wzorów Viete,a liczę sumę pierwiastków czyli \(\\)\(\\) \(y_1+y_2=\frac{2p}{a}\)
oznaczam wsp y srodka cięciwy : \(y_c=\frac{y_1+y_2}{2} =\frac{p}{a}\)
..............................................................................................
\(x_c=\frac{a^2p+2p}{2a^2} = \frac{p}{2} +\frac{p}{a^2} = \frac{p}{2} +(\frac{p}{a} )^2 \cdot \frac{1}{p} = \frac{p}{2} +(y_c)^2 \cdot \frac{1}{p}\)
...............................................................................................
ostatecznie szukany locus to : \(\frac{p}{2} +(y_c)^2 \cdot \frac{1}{p} =x_c\) \(\\) , też parabola .