forum.zadania.info

Uzasadnij, że równanie \(x(x^2+12)=6(x^2+1)\) ma dokładnie jedno rozwiązanie .

Proszę o pomoc w uzasadnieniu tego zadaniami.

Wymyśliłam tak:
\(x(x^2+12)=6(x^2+1) \iff x(x^2+12)=6(x^2+12)-66 \iff (x-6)(x^2+12)=-66 \iff \\
x^2+12= \frac{66}{6-x}\)
lewa strona to parabola, prawa to hiperbola i one się przecinają w jednym punkcie. Może być ?

Pytający może mieć jeszcze problem z uzasadnieniem, dlaczego akurat ta parabola przecina tą hiperbole w jednym punkcie.
Proponuję jednak na poziomie analizy pochodnej.
Po przeniesieniu wszystkiego na lewo. Mamy równanie w postaci ogólnej
\(x^3-6x^2+12x-6 = 0\)
Badając przebieg zmienności lewej strony dostajemy łatwo, że nie ma ona ekstremów lokalnych
\(L'(x)=(x^3-6x^2+12x-6)' = 3(x^2-4x+4)= 3(x-2)^2\)
Pochodna ma tylko jedno miejsce zerowe dla \(x=2\) i nie zmienia w nim znaku - stąd mamy tu na wykresie \(L(x)\) "kolanko" - punkt przegięcia.
Taki wykres \(L(x)\) - wielomian 3 stopnia - przetnie oś OX tylko w jednym miejscu będąc jednocześnie dla tego (punktu przecięcia) x pierwiastkiem lewej strony równania.

Miłej niedzieli

Dziękuję za pomoc .