forum.zadania.info

Roziąż układ równań
\(\begin{cases}4xy+4(x^2+y^2)+\frac{3}{(x+y)^2}= 7\\2x+\frac{1}{x+y}=3 \end{cases}\)

Może w drugim równaniu jest \(2xy\) ?

Raczej tak, bo w tej postaci to to w ogóle nie ma rozwiązań:

A co z (1,0) ????

Liczby x=1 i y=0 spełniają oba równania.
Pytanie,czy to jest jedyna para (x;y).

Podobno da sie to sprowadzić do równania \(8(x-1)^2(8x^2-26x+23)=0\)

Tylko dłużyzna :
1) \(\\) \(\\)\(\frac{1}{x+y} = 3-2x\) , \(x+y=\frac{1}{3-2x}\) , \(\\)\(\\) \((x+y-2x)^2=(y-x)^2= ( \frac{1-2x(3-2x)}{3-2x})^2\)
pierwsze równanie można zapisać :
2) \(\\) \(\\) \(3( \frac{1}{(x+y)^2} +(x+y)^2 ) +(x-y)^2-7=0\)
łącząc z pierwszym jest \(3( (3-2x)^2+ \frac{1}{(3-2x)^2} )+ ( \frac{1-2x(3-2x)}{3-2x})^2 =7\)
3) po pomnożeniu jest : \(3( (3-2x)^4+1) +( 1-2x(3-2x))^2=7(3-2x)^2\)
4) \(\\) \(\\) Oznaczam \(\\) \(W(x)= 3( (3-2x)^4+1) +( 1-2x(3-2x))^2-7(3-2x)^2\)
5) Fakt : \(W(1)=0\)
6) Liczę rachując \(W'(x)\) i potem sprawdzam ,że \(W'(1)=0\) skąd wynika ,że \(W(x)\) dzieli się przez \((x-1)^2\) i to licząc samodzielnie zajmuje 5 minut.
7) Zostaje na deser dzielenie pod kreskę \(W(x)\) po rozwinięciu przez \((x-1)^2\) i wyjdzie żądane.
............................................................................................
Ale jak to zrobić sprytnie ,nie wiem , bo sądzę że zadanie jest wykoncypowane .