Pierwiastki wielomianu
: 07 sty 2017, 08:52
Ile pierwiastków ma wielomian \(w(x)=x^3-x^2-2x+1\) w przedziale (-2,2)?
\(f(-2)=-7<0\\f(0)=1>0\)
Między x=-2 i x=0 musi być co najmniej jedno miejsce zerowe.
\(f(0)>0\\f(1)=-1<0\)
Między x=0 i x=1 musi być co najmniej jedno miejsce zerowe.
\(f(1)<0\\f(2)=1>0\)
Między x=1 i x=2 musi być co najmniej jedno miejsce zerowe.
Wielomian jest stopnia trzeciego,więc może mieć co najwyżej trzy miejsca zerowe.
Stąd wniosek,że w przedziale (-2;2) wielomian ma trzy pierwiastki.
Drugi sposób podejścia do zadania,to zbadanie przebiegu funkcji...
\(W(x)=x^3-x^2-2x+1\\W'(x)=3x^2-2x-2\\W'(x)=0\;\;\;\;gdy\;\;\;3x^2-2x-2=0\)
Otrzymasz \(W_{MAX}\;\;\;\;i\;\;\;\;W_{min}\)
Jeszcze granice:
\(\Lim_{x\to -\infty}W(x)= \Lim_{x\to - \infty }x^3(1- \frac{1}{x}- \frac{2}{x^2}+ \frac{1}{x^3})=- \infty \\ \Lim_{x\to + \infty }W(x)=+ \infty\)
Zestawiając kształt krzywej z ekstremami i granicami wielomianu wywnioskujesz istnienie trzech miejsc zerowych w (-2;2).