Pomoc przy arkuszu.

[lukaszunio]

\((log5+log2)^2=log10^2=2\)

ta linijka moim zdaniem jest troszkę matematycznie niespójna, bo gdyby to było prawdą, to na samym początku moglibyśmy tak zrobić, ale gdy log10 weźmiemy w nawias wynik się zgadza, także dziękuję

[lukaszunio]

\((log 10)^2 = (1)^2 = 1\)mi chodziło, aby tak to zapisać

[anka]

Poprawiłam

[lukaszunio]

Proszę o pomoc przy tych zadaniach

uzasadnij, że liczba A jest całkowita\(A= \sqrt[3]{2+ \sqrt{5} } + \sqrt[3]{2- \sqrt{5} }\)

trzy różne liczby spełniają warunek \(\frac{y}{x-z} = \frac{x+y}{z}= \frac{x}{y}\) wyznacz wartość ilorazu x/y
Wyznacz liczby naturalne ABC spełniające równanie \(\frac{22}{5}= A+ \frac{1}{B+ \frac{1}{C} }\)

Udowodnij ze M jest kwadratem pewnej liczby naturalnej

\(M=(a+b)^4 - 2(a^2 +b^2)(a+b)^2 +2(a^4 + b^4)\)

dla jakiej wartości k równanie spełniają 3 liczby naturalne
\(x^3 +kx^2 =2099x=2009\)

Oblicz \(q^4 - 6q^3 +9q^2 -7\) wiedząc że \(q^2-3q+1=0\)

wszystkie zadania z aksjomatu toruń 2010 zestawy III i IV brak najmniejszych wskazówek do rozwiązań i dość trudne zadania powodują że ta książka potrafi zniechęcić mniej wytrawnych graczy.... Proszę o pomoc....

[anka]

trzy różne liczby spełniają warunek \(\frac{y}{x-z} = \frac{x+y}{z}= \frac{x}{y}\) wyznacz wartość ilorazu x/y

\(\frac{y}{x-z} = \frac{x+y}{z}= \frac{x}{y}\)

\(\{\frac{y}{x-z} =\frac{x}{y}\\\frac{x+y}{z}= \frac{x}{y}\)
\(\{x(x-z)=y^2\\xz=y(x+y)\)
\(\{x^2-xz=y^2\\xz=y(x+y)\)
\(\{xz=x^2-y^2\\xz=y(x+y)\)

\(x^2-y^2=y(x+y)\)
\((x-y)(x+y)=y(x+y)\)
\(x-y=y\)
\(x=2y\)
\(\frac{x}{y} =2\)

Wyznacz liczby naturalne ABC spełniające równanie \(\frac{22}{5}= A+ \frac{1}{B+ \frac{1}{C} }\)

\(\frac{22}{5}=4+ \frac{2}{5}=4+ \frac{1}{ \frac{5}{2} }=4+ \frac{1}{2+ \frac{1}{2} }\)

\(A=4,B=2,C=2\)

Udowodnij ze M jest kwadratem pewnej liczby naturalnej

\(M=(a+b)^4 - 2(a^2 +b^2)(a+b)^2 +2(a^4 + b^4)\)

\(M=(a+b)^4 - 2(a^2 +b^2)(a+b)^2 +2(a^4 + b^4)=[(a+b)^2]^2 - 2(a^2 +b^2)(a+b)^2+2(a^4 + b^4)=\\
(a+b)^2[(a+b)^2-2(a^2+b^2)]+2(a^4 + b^4)=(a+b)^2[a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2]+2(a^4 + b^4)=\\
(a+b)^2[- a^2 + 2ab - b^2]+2(a^4 + b^4)=(a+b)^2[- (a-b)^2]+2(a^4 + b^4)=\\
-[(a+b)(a-b)]^2+2(a^4 + b^4)=-(a^2-b^2)^2+2(a^4 + b^4)=-(a^4-2a^2b^2+b^4)+2a^4+2b^4=\\
-a^4+2a^2b^2-b^4+2a^4+2b^4=a^4 + 2a^2b^2 + b^4=(a^2 + b^2)^2\)

Lub
\(M=(a+b)^4 - 2(a^2 +b^2)(a+b)^2 +2(a^4 + b^4)=\\a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4-2(b^4 + 2ab^3 + 2a^2b^2 + 2a^3b + a^4)+2a^4+2b^4=\\a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4- 2a^4 - 4a^3b - 4a^2b^2 - 4ab^3 - 2b^4+2a^4+2b^4=\\a^4 + 2a^2b^2 + b^4=(a^2 + b^2)^2\)

Oblicz \(q^4 - 6q^3 +9q^2 -7\) wiedząc że \(q^2-3q+1=0\)

\(q^2-3q+1=0 \ /()^2\)
\(q^4 - 6q^3 + 11q^2 - 6q + 1=0\)

\(q^4 - 6q^3 +9q^2 -7=(q^4 - 6q^3 + 11q^2 - 6q + 1)-2q^2+6q-8=0^2-2(q^2-3q+1)-6=0-0-6=-6\)

[jola]

\(A= \sqrt[3]{2+ \sqrt{5} }+ \sqrt[3]{2- \sqrt{5} }\)
\(A^3=2+ \sqrt{5}+3 \sqrt[3]{(2+ \sqrt{5})^2(2- \sqrt{5} ) }+3 \sqrt[3]{(2+ \sqrt{5})(2- \sqrt{5})^2 }+2- \sqrt{5}\)
\(A^3=4+3( \sqrt[3]{(2+ \sqrt{5})(4-5) } +3 \sqrt[3]{(4-5)(2- \sqrt{5)} }\)
\(A^3=4-3( \sqrt[3]{2+ \sqrt{5} }+ \sqrt[3]{2- \sqrt{5} })\)
\(A^3=4-3A\\ A^3+3A-4=0\\ (A-1)(A^2+A+4)=0\\ A=1 \in C\)

[jola]

anka napisała
\((x-y)(x+y)=y(x+y)\)
\(x-y=y\)
\(x=2y\)
\(\frac{x}{y} =2\)

\((x-y)(x+y)=y(x+y)\\ (x+y)(x-2y)=0\\ x+y=0\ \ \ \vee \ \ \ x-2y=0\\ \frac{x}{y}=-1\ \ \ \vee \ \ \ \ \frac{x}{y}=2\)

[lukaszunio]

bardzo celna uwaga, tutaj jednak jest mój błąd bo pominąłem że sa to 3 dodatnie liczby

[anka]

dla jakiej wartości k równanie spełniają 3 liczby naturalne
\(x^3 +kx^2 =2099x=2009\)

Możesz to sprawdzić?
Tak są dwa znaki równości?

[lukaszunio]

aj sorry tam jest oczywiście plus + tylko shift za lekko nacisnąłem
Udowodnij L + B = Y

[jola]

\(tg \alpha = \frac{x}{3x}= \frac{1}{3}\\ tg \beta = \frac{x}{2x}= \frac{1}{2} \\ tg \gamma = \frac{x}{x}=1\)

\(tg( \alpha + \beta )= \frac{tg \alpha +tg \beta }{1-tg \alpha \cdot tg \beta }= \frac{ \frac{1}{3}+ \frac{1}{2} }{1- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} } = \frac{ \frac{5}{6} }{ \frac{5}{6} }=1=tg \gamma \ \ \ \Rightarrow \ \ \alpha + \beta = \gamma\)

[lukaszunio]

Wyznacz zbiór punktów spełniających równanie \(log_{x^2 + y^2}(2y)=1\)

[Galen]

x^2 + y^2 różne od 1 i y>0
x^2 + y^2 = 2y
x^2 + y^2 -2y = 0 ------------------okrąg o środku (0 , 1) i promieniu r=1
Ale uwzględniamy założenia i bierzemy część okręgu nad osią OX ,bo y>0
Wyrzucamy punkt (0,1),bo suma kwadratów ma być różna od 1.Najlepiej wyrzucić punkty wspólne danego okręgu
z okręgiem o środku (0,0) i promieniu 1.Masz zapewnione wtedy pierwsze założenie.

[lukaszunio]

-W trójkącie ABC dane są kąt | ACB|=60°, |AB|= \(\sqrt{31}\) . Na boku AC obrano taki punkt D, ze długość odcinka AD wynosi 3. Znajdź długość boku BC, jeśli |BD|=\(2 \sqrt{7}\)

2 twierdzenia cosinusów stosuje, mimo to nie mogę dalej wybrnąć z dziwnego układu równań... help...

[irena]

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABD:
\(\alpha= \angle ADB\\31=9+28-12\sqrt{7}cos\alpha\\12\sqrt{7}=6\\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{14}\\sin^2\alpha=1-\frac{7}{196}=\frac{189}{196}\\sin\alpha=\frac{3\sqrt{21}}{14}\)

\(\beta= \angle BDC=180^o-\alpha\\sin\beta=sin\alpha\)

z twierdzenia sinusów dla trójkąta BDC:
\(\frac{|BD|}{sin60^o}=\frac{|BC|}{sin\beta}\\\frac{2\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{|BC|}{\frac{3\sqrt{21}}{14}}\\|BC|=6\)