forum.zadania.info

Przez wierzchołek stożka poprowadzono płaszczyznę przecinającą podstawę stożka wzdłuż cięciwy AB. Kąt między różnymi bokami przekroju jest \(\alpha\). Kąt środkowy w podstawie oparty na łuku AB jest równy \(2 \alpha\). Oblicz sinus kąta rozwarcia stożka.

\(l\) --długość tworzącej stożka
\(\phi\) --kąt rozwarcia stożka
\(r\) ---promień podstawy stozka
korzystam trzykrotnie z tw kosinusów :
\(4r^2=l^2( 1- \cos \phi)\) : dala przekroju osiowego stożka
\(|AB|^2=2l^2( 1- \cos ( 180^ \circ -2 \alpha )) = 2l^2( 1+ \cos 2 \alpha )\) , dla przekroju z cięciwą \(AB\)
\(|AB|^2= 2r^2(1- \cos 2\alpha )\) , podstawa stożka
\(180^ \circ -2 \alpha <\phi\)
.................................................................................
\(2r^2(1- \cos 2\alpha )=|AB|^2= 2l^2( 1+ \cos 2 \alpha )\)
\((\frac{r}{l})^2=\frac{1+ \cos 2 \alpha }{1- \cos 2 \alpha }\)
...............................................................................
szukamy : \(4 \cdot ( \frac{r}{l} )^2= 1- \cos \phi\)
..............................................................................
podstawiam wcześniejsze : \(4 \cdot \frac{1+ \cos 2 \alpha }{1- \cos 2 \alpha }= 1- \cos \phi\)

i \(\\): \(\sin ^2 \phi + ( 1- 4 \cdot \frac{1+ \cos 2 \alpha }{1- \cos 2 \alpha } )^2 =1\)
oj nie wygląda to ładnie .
zostaje żmudna trygonometryczna obróbka wzoru + określoność( \(180^ \circ -2 \alpha <\phi\)), czyli wyjęcie ze związku \(\sin \phi\).