forum.zadania.info

Wyznacz ekstremum lokalne funkcji określonej wzorem
\(f(x)=x-2+ \frac{x-2}{x-5} +\frac{x-2}{(x-5)^2}+\frac{x-2}{(x-5)^3}+...,\) gdzie prawa strona wzoru jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego

zacznijmy od dziedziny:\(\left| \frac{1}{x-5}\right|<1 \iff \left|x-5\right|>1 \iff x \in \left(- \infty,4 \right) \cup \left( 6,+\infty \right)\)i teraz :
\(f(x)=x-2+ \frac{x-2}{x-5} +\frac{x-2}{(x-5)^2}+\frac{x-2}{(x-5)^3}+...= \frac{x-2}{1- \frac{1}{x-5} }= \frac{(x-2)(x-5)}{x-6}=\frac{x^2-7x+10}{x-6}\)
Teraz należy znaleźć ekstrema \(f\) w przedziale \(\left(- \infty,4 \right) \cup \left( 6,+\infty \right)\)

\(f'(x)=\frac{(2x-7)(x-6)-(x^2-7x+10)}{(x-6)^2}=\frac{2x^2-19x+42-x^2+7x-10}{(x-6)^2}=\frac{x^2-12x+32}{(x-6)^2}=\frac{(x-4)(x-8)}{(x-6)^2}\)
pochodna zmienia znak w punktach \(4\) i \(8\).
\(4\) nie należy do dziedziny wiec tylko \(8\) i to jest minimum, które wynosi \(f(8)=\frac{8^2-7 \cdot 8+10}{8-6} = \frac{64-56+10}{2} =9\)

a obrazek jest taki: