ułamki łańcuchowe

[Rosee1993]

Obliczyć wartość podanego ułamka łańcuchowego:

\([2;1,1,1,....]\)

[Panko]

\(2+x= 2+ \frac{1}{1+x}\) : \(\\) \(x=\frac{1}{1+x}\) : \(x=\frac{ \sqrt{5}-1 }{2}\) , \(x=-\frac{ \sqrt{5}+1 }{2}\) :

wartość ułamka =\(w\)

\(w=2+ \frac{ \sqrt{5}-1 }{2} = 2+\frac{1}{ \frac{ \sqrt{5}+1 }{2} } = 2+ \frac{1}{ 1+ \frac{ \sqrt{5}-1 }{2} }\)\(=....\)

[Rosee1993]

Idąc tokiem Twojego rozumowania , dla łańcucha [1;1,1,1,...] powinno być:

\(1+x= 1+ \frac{1}{1+x}\) : \(\\) \(x=\frac{1}{1+x}\) : \(x=\frac{ \sqrt{5}-1 }{2}\) , \(x=-\frac{ \sqrt{5}+1 }{2}\) :

wartość ułamka =\(w\)

\(w=1+ \frac{ \sqrt{5}-1 }{2}\)

tak?