forum.zadania.info

Witam, bardzo proszę o jakieś wskazówki do tego zadania.

\(\Lim_{x\to 7} \frac{ \sqrt{x+2} - \sqrt[3]{x+20} }{ \sqrt[4]{x+9}-2 }\)

\(1\)
\((\sqrt[4]{x+9} -2) \cdot ( \sqrt[4]{x+9} +2 ) \cdot ( \sqrt{x+9} +2 ) = x-7\)
........................................................................................................
Zdiagnozowano : ukryty dwumian \(x-7\)
\(a^6-b^6= ( a-b)(a+b)( a^4+a^2b^2 +b^4)\)
\(a= \sqrt{x+2}\) , \(b= \sqrt[3]{x+20}\)
\((x+2)^3-(x+20)^2= ( \sqrt{x+2} - \sqrt[3]{x+20} ) \cdot ( \sqrt{x+2} + \sqrt[3]{x+20} ) \cdot ( ( \sqrt{x+2} )^4 + ( \sqrt{x+2} \cdot \sqrt[3]{x+20} )^2\) \(+ ( \sqrt[3]{x+20} )^4 )\)
\(2.\)
\((x-7)(x^2+12x+56)= ( \sqrt{x+2} - \sqrt[3]{x+20} ) \cdot ( \sqrt{x+2} + \sqrt[3]{x+20} ) \cdot ( ( \sqrt{x+2} )^4 + ( \sqrt{x+2} \cdot \sqrt[3]{x+20} )^2\) \(+ ( \sqrt[3]{x+20} )^4 )\)
.......................................................................................................
Leczenie:
Najpierw mnożysz licznik i mianownik początkowego ułamka przez :\(( \sqrt[4]{x+9} +2 ) \cdot ( \sqrt{x+9} +2 )\)
Dostaniesz w mianowniku czynnik \((x-7)\) jak w \( 1\)
Potem stosujesz \(2\) , wydobywając \((\sqrt{x+2} - \sqrt[3]{x+20})\)
W ten sposób skrócisz pozorną nieoznaczoność związaną z dwumianem \(x-7\)A dalej to już z górki.

Przykład koszmarek.

Areage pisze:Witam, bardzo proszę o jakieś wskazówki do tego zadania.

\(\Lim_{x\to 7} \frac{ \sqrt{x+2} - \sqrt[3]{x+20} }{ \sqrt[4]{x+9}-2 }\)

a gdyby podający przykład zapomniał zakazać stosowanie reguły de l'Hospitala to:
\(\Lim_{x\to 7} \frac{ \sqrt{x+2} - \sqrt[3]{x+20} }{ \sqrt[4]{x+9}-2 }=\Lim_{x\to 7} \frac{ \left(x+2 \right) ^ \frac{1}{2} - \left(x+20 \right) ^ \frac{1}{3} }{ \left(x+9 \right) ^ \frac{1}{4} -2 }=^H=\Lim_{x\to 7} \frac{ \frac{1}{2} \left(x+2 \right) ^ {-\frac{1}{2}} - \frac{1}{3} \left(x+20 \right) ^ {-\frac{2}{3}} }{ \frac{1}{4} \left(x+9 \right) ^ {-\frac{3}{4}} }= \frac{ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} }{ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} }= \frac{112}{27}\)