forum.zadania.info

Wykaż, że dla każdego naturalnego n liczba \(7^{n+2} -2 ^{n+2}+ 7^{n+1}- 2^{n+1}\) jest podzielna przez 10.
Możliwie bez kongurencji (patrz adresat zadania). UWAGA! W wydaniu PAZDRO 2012 r. zadanie to wydrukowano z błędem merytorycznym. Obecnie zostało one zmodyfikowane, przez co jego dowód stał się, zdaje się, niebanalny. Chyba że ktoś mnie przekona, że jest... banalny dla ucznia klasy I szkoły średniej.

poetaopole pisze:Wykaż, że dla każdego naturalnego n liczba \(7^{n+2} -2 ^{n+2}+ 7^{n+1}- 2^{n+1}\) jest podzielna przez 10.
Możliwie bez kongurencji (patrz adresat zadania). UWAGA! W wydaniu PAZDRO 2012 r. zadanie to wydrukowano z błędem merytorycznym. Obecnie zostało one zmodyfikowane, przez co jego dowód stał się, zdaje się, niebanalny. Chyba że ktoś mnie przekona, że jest... banalny dla ucznia klasy I szkoły średniej.

próbowałeś indukcyjnie ? Spróbuj. Idzie gładko

No ale indukcja wypadła z programu szkoły średniej już dawno. Pozostaje wzór \(a^{n}- b^{n}\) i dzięki niemu zrobiłem, tyle że też go nie ma w programie, mimo że jest w tablicach maturalnych.

No to trzeba poprzekształcać:
\(7^{n+2} -2 ^{n+2}+ 7^{n+1}- 2^{n+1}=\\
7^{n+2} + 7^{n+1}-2 ^{n+2}- 2^{n+1}=\\
7^{n} \left( 49+7)\right) -2 ^{n} \left(4+2 \right) =\\
56 \cdot 7^{n} -6 \cdot 2 ^{n} =\\
6 \cdot 7^{n} -6 \cdot 2 ^{n} +50\cdot 7^{n} =\\
6 \left( 7^{n} - 2 ^{n}\right) +50\cdot 7^{n} =\\
6 \left( 7-2\right) \left( 7^{n-1} +7^{n-2} \cdot 2+... + 2 ^{n-1}\right) +50\cdot 7^{n} =\\
30 \left( 7^{n-1} +7^{n-2} \cdot 2+... + 2 ^{n-1}\right) +50\cdot 7^{n} \\\)
oba składniki dzielą się przez 10...