forum.zadania.info

Wykaz, ze jeżeli \(x>0,\) to \(x^4+ \frac{50}{x^2} \ge 19\)

A jaki poziom tego rozwiązania można stosować (pochodne )?

Zadanie jest na poziomie rozszerzonym, za 3 punkty. Można stosować pochodne.

Niech \(f(x)=x^4+ \frac{50}{x^2}\)
Szukamy ekstremum tej funkcji dla x>0.

\(f'(x)=4x^3- \frac{100}{x^3}= \frac{4(x^6-25)}{x^3}\\
f'(x)=0 \wedge x>0 \iff x= \sqrt[6]{25}= \sqrt[3]{5}\)
\(f'(x)>0 \wedge x>0 \iff x> \sqrt[3]{5}\) oraz \(f'(x)<0 \wedge x>0 \iff 0<x< \sqrt[3]{5}\)
Zatem \(x= \sqrt[3]{5}\) jest punktem, w którym funkcja f osiąga minimum.
Dla x>0 \(f(x)\ge f( \sqrt[3]{5})= \left( \sqrt[3]{5} \right)^4+ \frac{50}{ \sqrt[3]{25} } =5 \sqrt[3]{5}+10 \sqrt[3]{5}=15 \sqrt[3]{5} >19\)

Uwaga!
Nie wiem dlaczego akurat 19 wybrano. Tak na prawdę \(f(x)>25\).