Strona 1 z 1
wyznacz współrzędne wierzchołków prostokąta wpisanego w okrą
: 11 lis 2016, 19:05
autor: 19a97
wyznacz współrzędne wierzchołków prostokąta wpisanego w okrąg o równaniu \(x^2+y^2\)=25, którego dwa wierzchołki należą do prostej 2x-y-5=0
: 11 lis 2016, 20:11
autor: Panko
środek okręgu\(\\) \((0,0)\) \(\\)to środek symetrii prostokąta .
punkty przecięcia prostej z okręgiem wynikają z rozwiązania układu : \(y=2x-5, x^2+y^2=5\)
To : \(( 0,-5), (4,3)\) .
Szukane dwa wierzchołki są obrazami tych dwóch powyższych w symetrii środkowej względem punktu \((0,0)\)
Czyli punktowi \((x,y) \to ( -x,-y)\)
Szukane to : \(( 0,5), ( -4,-3)\)
: 11 lis 2016, 20:22
autor: Galen
Rozwiąż układ równań
\(\begin{cases} y=2x-5\\x^2+y^2=25\end{cases}\)
\(x^2+(2x-5)^2=25\\5x^2-20x=0\\5x(x-4)=0\\x=0\;\;\;lub\;\;\;\;x=4\)
Odpowiednio \(y=-5\;\;\;\;lub\;\;\;\;y=3\)
Wierzchołki prostokąta:
\((0;-5)\;\;\;\;drugi\;\;\;\;(4;3)\)
Poprowadź prostopadłe do danej prostej przez te punkty:
\(y=-\frac{1}{2}x+b\\-5=- \frac{1}{2} \cdot 0+b\;\;\;\; \So \;\;\;b=-5\\y=- \frac{1}{2}x-5\)
\(y=- \frac{1}{2}x+b\\3=-2+b\\b=5\\y=- \frac{1}{2}x+5\)
Punkty wspólne prostopadłych z okręgiem : (0;5) i (0-5)
Przez (0;5) poprowadź równoległą do danej prostej
\(y=2x+b\;\;\;\;x=0\;\;\;i\;\;y=5\\5=2 \cdot 0+b\;\;\;\;to\;\;\;b=5\\y=2x+5\)
Masz trzy wierzchołki prostokąta (0;-5),(4;3),(0;5)
Czwarty jest punktem wspólnym prostej y=2x+5 z okręgiem.
\(x^2+(2x+5)^2=25\\5x^2+20x=0\\5x(x+4)=0\\x=0\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;x=-4\)
Ostatni wierzchołek:
\((-4;-3)\)