forum.zadania.info

Znajdź takie liczby wymierne a, b, że:
\(\sqrt{70}<a<b<\sqrt{71}\)

Zadanie oczywiście bez użycia kalkulatora...
Nie mam pojęcia, jak to rozgryźć, spotkałam się do tej pory tylko z takimi zadaniami, że różnica między tymi cyframi pod pierwiastkiem była na tyle duża, że dało się znaleźć pomiędzy nimi wymierna liczbę całkowitą
Z góry dzięki za pomoc!

Jak rozumieć , bez użycia kalkulatora ?

Nie można poznać wartości przybliżenia tych pierwiastków, licząc na kalkulatorze

Przypuszczam ,że ma być możliwie prosto .
Czyli np \(\\) \(70<a^2<b^2<71\)
Taka metoda : wyczerpywania . I tylko mnożenie .
Widać ,że \(8^2 <70 <9^2\) . Przebiegamy miejsca dziesiętne do pierwszego dobrego : \(70<(8.4)^2<71\)
Teraz biegniemy po miejscach setnych aby znaleźć kolejną : \((8.4)^2< b^2<71\).
Już \(\\) \((8.4)^2< (8.41)^2<71\)
ODP : NP : \(a=8.4\) , \(b=8.41\)

Ok, ale skąd masz nagle to 8.4? Skąd to dokładnie wiesz, skoro nie mamy kalkulatora?

Może tak ?
\(w \in W\) : \(\\) \(\sqrt{n} <w < \sqrt{n+1}\)

\(n= \frac{n}{k} \cdot k\) ,\(\\) \(k \in N\) \(\\) \(\\) , \(\sqrt{ \frac{n}{k} \cdot k }\)\(\le \frac{1}{2}( \frac{n}{k} +k )\) .

Szukam takich \(k \in N\) aby : \(\\) \(\frac{1}{2}( \frac{n}{k} +k ) \le\)\(\sqrt{n+1}\)

Dostajemy : \(k \in ( \sqrt{n+1} -1 , \sqrt{n+1} +1)\)

W tym przedziale leżą dwie liczby naturalne gdy \(\sqrt{n} , \sqrt{n+1}\) są niewymierne , jak w zadaniu .
..........................................................................................................
Czyli \(\sqrt{70} <w < \sqrt{71}\)
Szukane liczby wymierne są postaci : \(\frac{1}{2}( \frac{70}{k} +k )\) gdzie \(k \in N\) takie ,że \(\sqrt{71} -1< k < \sqrt{71 }+1\) , i w tym przedziale leżą dokładnie dwie takie naturalne \(k\).