forum.zadania.info

Witam, mam problem z zadaniem, oto treść:

Znajdź granicę, korzystając ze wzoru:
\(\Lim_{x\to -\infty} = \left(1 + \frac{1}{n} \right) ^n = e\)

\(a) a_n= \left( \frac{n+1}{n} \right) ^{n+2}\\
b) a_n= \left( \frac{3n-1}{3n+1}\right) ^{n+4}\\
c) a_n= \left(\frac{3n^2+1}{3n^2-1} \right) ^{3n^2}\\
d) a_n= \left( \frac{n+2}{n+1} \right) ^n \cdot \left( \frac{n+2}{n+1} \right) ^4\\
e) a_n= \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) ^n\)

Żeby się dobrze wyświetlało musisz zapis LaTeX'a ująć w takie tagi: Zrobię przykład a) i b). Ty spróbuj następny. Jak się uda, to będziesz to umiał - warto, to stały punkt kolokwiów i egzaminów.

1. \(a_n= \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n+2}= \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n \cdot \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^2\)
   \(\Lim_{n\to \infty } \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n=e\\
   \Lim_{n\to \infty }\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^2= \left[ \Lim_{n\to \infty }\left( 1+ \frac{1}{n} \right)\right]^2=(1+0)^2=1\)
   Wobec tego:
   \(\Lim_{n\to \infty } \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n+2}=e\)
2. \(a_n= \left( \frac{3n-1}{3n+1} \right)^{n+4}= \left( \frac{(3n+1)-2}{3n+1} \right)^{n+4}= \left(1- \frac{2}{3n+1} \right)^{n+4}= \left( 1+ \frac{1}{ -\frac{3n+1}{2} } \right)^{n+4}=\\
   = \left[ \left(1+ \frac{1}{- \frac{3n+1}{2} } \right)^{ -\frac{3n+1}{2} }\right]^{- \frac{2}{3n+1} \cdot (n+4) }=\left[ \left(1+ \frac{1}{- \frac{3n+1}{2} } \right)^{ -\frac{3n+1}{2} }\right]^{- \frac{2n+8}{3n+1} }\)

\(\Lim_{n\to \infty }\left[ \left(1+ \frac{1}{- \frac{3n+1}{2} } \right)^{ -\frac{3n+1}{2} }\right]=e \wedge \Lim_{n\to \infty } -\frac{2n+8}{3n+1}=- \frac{2}{3}\), więc
\[\Lim_{n\to \infty }\left( \frac{3n-1}{3n+1} \right)^{n+4}=e^{- \frac{2}{3} }\]

Dzięki wielkie. Trudność dla mnie w tym zadaniu polegała na tym że nie wiedziałem o tym \[[1+ \frac{1}{ \frac{-(3n+1)}{2}}^{ \frac{-3n+1}{2}} = e\] Teraz gdy wiem że potęga musi być taka jak mianownik, to jest naprawdę łatwe. Jeszcze raz wielkie dzięki

Z przyjemnością pomogłem.