Całka ogólna równania różniczkowego

[gonzalo2096]

Znaleźć całkę ogólną równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych
\(a) \sin y' = x\)
\(b) y' \sin x=y \ln y\)
\(c) y'=y \sqrt{1+y^2}\)

[radagast]

Znaleźć całkę ogólną równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych
\(a) \sin y' = x\)

\(\sin y' = x\)
\(y' = \arcsin x\)
\(\int dy = \int \arcsin x dx\)
\(y=x \arcsin x+ \sqrt{1-x^2} +C\)

[radagast]

chyba że miałeś na myśli tak:
\(\left(\sin y \right) ' = x\)
wówczas:
\(\cos y \cdot y'= x\)
\(\int \cos y dy = \int x dx\)
\(\sin y= \frac{x^2}{2} +C\)

(nawias zwykle robi dużą różnicę)

[radagast]

Znaleźć całkę ogólną równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych
\(b) y' \sin x=y \ln y\)

\(\frac{dy}{dx} \sin x=y \ln y\)
\(\frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{\sin x}\)
\(\int \frac{ \frac{1}{y}}{ \ln y} dy = \int \frac{dx}{\sin x}\)
\(\ln |\ln y|=\ln |\tg \frac{x}{2}|+C\)
\(\ln y=D\tg \frac{x}{2}\)
\(y=E \cdot e^{\tg \frac{x}{2}},\ \ \ E \in R_+\)

[domino21]

c.
\(y'=y\sqrt{1+y^2} \\
\frac{dy}{dx} =y\sqrt{1+y^2} \\
\frac{dy}{y\sqrt{1+y^2}} =dx\\
\log y - \log(\sqrt{y^2+1}+1)=x +C\\
\log \frac{y}{\sqrt{y^2+1}+1}=x+C \\
\frac{y}{\sqrt{y^2+1}+1}=e^{x+C}\\
\frac{y(\sqrt{y^2+1}-1)}{(\sqrt{y^2+1}+1)(\sqrt{y^2+1}-1)}=\frac{\sqrt{y^2+1}-1}{y} =e^{x+C}\\
\sqrt{y^2+1}-1=ye^{x+C} \\
\sqrt{y^2+1} =1+ye^{x+C} \\
y^2+1=1+2ye^{x+C}+y^2e^{2x+2C}\\
y(y-ye^{2x+2C}-2e^{x+C})=0 \\
y=0 \ \vee \ y(1-e^{2x+2C})=2e^{x+C}\\
y=0 \ \vee \ y=\frac{2e^{x+C}}{1-e^{2x+2C}}\)

[gonzalo2096]

Znaleźć całkę ogólną równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych
\(a) \sin y' = x\)

\(\sin y' = x\)
\(y' = \arcsin x\)
\(\int dy = \int \arcsin x dx\)
\(y=x \arcsin x+ \sqrt{1-x^2} +C\)

możesz wytłumaczyć dlaczego
\(y' = \arcsin x\)

i dlaczego
\(\int \arcsin x dx = x \arcsin x+ \sqrt{1-x^2} +C\)

[radagast]

możesz wytłumaczyć dlaczego
\(y' = \arcsin x\)

wprost z definicji funkcji arcsin (jest to odwrotna do sin)

i dlaczego
\(\int \arcsin x dx = x \arcsin x+ \sqrt{1-x^2} +C\)

z tablic (uznałam że arcsin to funkcja podstawowa