forum.zadania.info

Wektory \(\vec{a}\) , \(\vec{b}\) , \(\vec{c}\) mają wspólny początek, gdzie \(\vec{a}\) , \(\vec{b}\) są bokami trójkąta, zaś \(\vec{c}\) jego środkową. Wykaż, że \(\vec{axb}\) +\(\vec{bxc}\) + \(\vec{cxa}\) =0

\(\vec c= \frac{1}{2}( \vec a+ \vec b)\)

\(\vec a \times \vec b + \vec b \times \vec c + \vec c \times \vec a = \vec a \times \vec b +\vec b \times \vec c - \vec a \times \vec c\)= \(\vec a \times \vec b +( \vec b - \vec a) \times \vec c = \vec a \times \vec b +( \vec b - \vec a) \times \frac{1}{2}( \vec a+ \vec b)\) =\(\vec a \times \vec b +\frac{1}{2} \cdot ( \vec b \times \vec a +\vec b \times \vec b - \vec a \times \vec a - \vec a \times \vec b) = \vec a \times \vec b +\frac{1}{2} \cdot ( \vec b \times \vec a +0-0 - \vec a \times \vec b )\) =\(\vec a \times \vec b +\frac{1}{2} \cdot ( \vec b \times \vec a +0-0 + \vec b \times \vec a )\) =\(\vec a \times \vec b + \vec b \times \vec a =0\)