forum.zadania.info

9
funkcja f określona jest wzorem \(f(x)= \frac{m-2}{3}x^3+(2m-3)x^2+(5m-6)x+m^2-5\)
Wyznacz te wartości parametru m, dla których funkcja jest malejąca w zbiorze liczb rzeczywistych

Oblicz pochodną funkcji i ustal dla których wartości m jest ona ujemna w całym zbiorze R.
\(f'(x)=(m-2)x^2+(4m-6)x+5m-6\)
Parabola musi być pod osią OX
\(\begin{cases}m-2<0\\\Delta<0 \end{cases}\)
\(m<2\)
\(\Delta=(4m-6)^2-4(m-2)(5m-6)=...=-4m^2+16m-12\)
\(-4m^2+16m-12<0\;/:4\\-m^2+4m-3<0\\\Delta_m=16-12=4\\m_1=1\\m_2=3\\ \begin{cases} m<2\\m\in (- \infty ;1) \cup (3;+ \infty )\end{cases}\)
Ostatecznie
\(m\in (- \infty ;1)\)