forum.zadania.info

Na kuli opisano stożek Stosunek pola podstawy stożka do pola powierzchni kuli wynosi 3:4
a) Wyznacz miarę kąta przy wierzchołku przekroju osiowego stożka
b) Oblicz stosunek objętości kuli do objętości stożka

Na przekroju osiowym mamy trójkąt równoramienny opisany na okręgu. Podstawa tego trójkąta to średnica podstawy stożka, ramiona to tworzące stożka, a wysokość to wysokość stożka.
Oznaczam:
r- promień podstawy stożka
R- promień kuli
\(\alpha\)- kąt rozwarcia stożka (ten, którego miarę masz obliczyć)
\(\beta\)- kąt przy podstawie trójkąta, czyli kąt nachylenia tworzącej do podstawy stożka

\(\frac{\pi\ r^2}{4\pi\ R^2}=\frac{3}{4}\\\frac{r^2}{R^2}=3\\\frac{r}{R}=\sqrt{3}\)

Jeśli poprowadzisz odcinek łączący środek koła na rysunku z wierzchołkiem trójkąta, to jest to część dwusiecznej kąta przy podstawie trójkąta.

\(ctg(\frac{\beta}{2})=\frac{r}{R}\\ctg(\frac{\beta}{2})=\sqrt{3}\\\frac{\beta}{2}=30^o\\\beta=60^o\)

Czyli trójkąt, który jest przekrojem osiowym stożka jest trójkątem równobocznym.

a)

Kąt ten ma miarę \(60^o\).

b)

Jesli r- promień stożka, to 2r- to długość boku trójkąta, \(H=r\sqrt{3}\) oraz \(R=\frac{1}{3}H=\frac{\sqrt{3}}{3}r\)

Objętość kuli:
\(\frac{4}{3}\pi\cdot(\frac{\sqrt{3}}{3}r)^3=\frac{4\sqrt{3}}{27}\pi\ r^3\)

Objętość stożka:
\(\frac{1}{3}\pi\cdot\ r^2\cdot\ r\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi\ r^3\)

\(\frac{V_k}{V_s}=\frac{4\sqrt{3}}{27}:\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4}{9}\)