forum.zadania.info

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest trapez prostokątny \(ABCD\) w którym\(:AB \parallel CB, AD \perp AB, |AB|=2|CD|, |AD|=|DC|\) Wysokość ostrosłupa jest krawędzią \(AS\) Wykaż że wszystkie ściany boczne ostrosłupa \(ABCDS\) są trójkątami prostokątnymi

Jeśli krawędź AS jest wysokością ostrosłupa, to jest prostopadła do podstawy ostrosłupa. Jest więc też prostopadła do wszystkich prostych płaszczyzny podstawy, przechodzących przez punkt A, czyli do prostych AB i AD. Trójkąty ADS i ABS są trójkątami prostokątnymi. Płaszczyzny tych trójkątów, czyli płaszczyzna wyznaczona przez punkty A, B, S oraz płaszczyzna wyznaczona przez punkty A, D, S, są prostopadłe do płaszczyzny podstawy. Prosta CD jest więc prostopadła do płaszczyzny ADS, czyli prosta CD jest prostopadła do każdej prostej płaszczyzny ADS przechodzącej przez punkt D. Czyli prosta CD jest prostopadła do prostej DS. Trójkąt CDS jest więc trójkątem prostokątnym. Kąty proste w tych trójkątach to: \(\angle DAS,\ \angle BAS,\ \angle CDS\).

Pokażemy, że trójkąt BCS też jest trójkątem prostokątnym.

Oznaczmy: |AD|=|CD|=a, |AB|=2a. Ramię BC musi mieć więc długość równą \(a\sqrt{2}\). Niech |AS|=k.

W trójkącieADS:
\(a^2+k^2=|DS|^2 \Rightarrow |DS|=\sqrt{a^2+k^2}\)

W trójkącie CDS:
\(a^2+(\sqrt{a^2+k^2})^2=|CS|^2\\|CS|^2=2a^2+k^2\\|CS|=\sqrt{2a^2+k^2}\)

W trójkącie BAS:
\(k^2+(2a)^2=|BS|^2\\|BS|=\sqrt{4a^2+k^2}\)

Trójkąt BCS ma boki długości:
\(|BC|=a\sqrt{2}\\|BS|=\sqrt{4a^2+k^2}\\|CS|=\sqrt{2a^2+k^2}\)

Nietrudno zauważyć, że \(|CS|^2+|BC|^2=|BS|^2\), czyli trójkąt BCS również jest prostokątny.