forum.zadania.info

1. Wyznacz wszystkie wartości parametru m (m należy do liczb R) dla których prosta o równaniu y=(m-1)x+m+2 ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku s(1,2) i promieniu r=1

2.
Styczne do okręgu o:
x^2+ (y+2)^2=3,2 poprowadzone przez punkt A(-2,1) przecinają oś rzędnych w punktach B i C
a) Wyznacz równania tych stycznych
b)Oblicz z dokładnością do 1° miare kąta ostrego, jaki wyznaczają te styczne
c)Oblicz współrzędne punktów B i C
d)Oblicz pole trójkąta ABC

Zadanie 1 już zrobiłam!

To fajnie, bo ono jest nietrudne.
Zadanie 2.
Prosta styczna do okręgu \(x^2+(y+2)^2=3,2\) w punkcie \((x_0,y_0)\) ma równanie \[x_0x+(y_0+2)(y+2)=3,2\] Prosta ma przechodzić przez (-2,1), wiec dla \(x=-2, y=1: -2x_0+3(y_0+2)=3,2 \iff 2x_0-3y_0=2,8\)
Punkt \((x_0,y_0)\) leżu na okręgu, więc \(x^2_0+(y_0+2)^2=3,2\)
Otrzymujemy układ równań \(\begin{cases}2x_0-3y_0=2,8\\ x^2_0+(y_0+2)^2=3,2\end{cases}\), którego rozwiązaniem są pary liczb \((0,8;-0,4)\) oraz \(\left(- \frac{116}{65},- \frac{138}{65} \right)\).
Szukane styczne mają więc równania:

• \(0,8x+1,6(y+2)=3,2 \iff 0,8x+1,6y=0 \iff x+2y=0\)

oraz

• \(- \frac{116}{65}x- \frac{8}{65}(y+2)=3,2 \iff - \frac{116}{65} x- \frac{8}{65} y= \frac{16}{5} + \frac{16}{65} \iff - \frac{116}{65} x- \frac{8}{65} y= \frac{224}{65}\)

Pierwsza styczna ma równanie: \(x+2y=0\)
Druga styczna ma równanie: \(\,29x+2y+56=0\)

Myślę, że kąt dasz radę z odpowiedniego wzoru policzyć.
Współrzędne punktów B i C też będzie łatwo, jeśli wiesz co to rzędne.
Pole trójkąta policz ze wzoru \(P= \frac{1}{2}|AB||AC|\sin(\angle BAC)\)

pod jaki wzór podstawiłeś punkt tej stycznej do okręgu, że wyszli Ci równanie ?

Wzór znajdziesz w tablicach matematycznych,ale masz proste wyjście ,bez tablic
Piszesz równanie prostej przez punkt A
\(y=ax+b\;\;\;\;\;\;A=(-1;2)\\2=-a+b\\b=a+2\\prosta\;\;\;y=ax+a+2\;\;\;\;czyli\;\;\;\;ax-y+a+2=0\)
Odległość tej prostej i środka S okręgu musi być równa długości promienia tego okręgu.
\(S=(0;-2)\;\;\;\;\;r=\sqrt{3,2}=0,8\sqrt{5}\)
\(ax-y+a+2=0\\0,8\sqrt{5}=\frac{|2+a+2|}{\sqrt{a^2+1}}\\\frac{|a+4|}{\sqrt{a^2+1}}=0,8\sqrt{5}\;/()^2\\\)
Stąd masz a,potem b i reszta będzie