kilka zadan maturalnych

benchwarmer · Post autor: **benchwarmer** » 06 mar 2010, 19:03

witam, nie jestem matematycznym mistrzem, mozna wrecz powiedziec ze jestem w niej kompletnie zagubiony, od tygodnia probuje zabrac sie za te zadania i ni cholery nie moge przez nie przebrnac, bylbym wdzieczny jakbyście mi je rozwiązali.

1. Na rysunku przedstawiono 3 trójkąty, w tym równoramienny trójkąt ABC (o podstawie AC) oraz prostokątny równoramienny trójkąt BDC (o podstawie BC). Uzasadnij, że cos( \(\angle\) ACD)< \(\frac{1}{2}\)

rysunek:

Obrazek

(to pomaranczowe przy wierzcholku C to kąt beta)

2.
Przękątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie M. Wysokość trapezu ma długość 18. Pole trójkąta ABM jest równe 25, pole trójkąta CDM jest równe 16. Oblicz pole trapezu.

rysunek:

Obrazek

3.
Liczbę 147 przedstaw w postaci sumy siedmiu składników, tak aby te składniki były kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego i aby ostatni składnik był sześć razy większy niż pierwszy. Oblicz te składniki.

4.
Zbiór A jest zbiorem licz spełniających równanie |x - 1| + |x - 3| = 2 , a zbiór B jest zbiorem współrzędnych wszystkich punktów na osi liczbowej, których odległość od liczby 5 jest niemniejsza niż 3. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B, oraz wszystkie punkty, których współrzędne należą do zbioru A i jednocześnie do zbioru B.

z góry dziękuję

anka · Post autor: **anka** » 06 mar 2010, 19:45

2.
\(a\) - podstawa dolna
\(b\) - podstawa górna
\(x\) - wysokość trójkąta ABM
\(y\) - wysokość trójkąta CDM
Trójkaty ABM i CDM są podobne. Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa
\(\frac{P_{ABM}}{P_{CDM}} = \frac{25}{16}=k^2 \Rightarrow k= \frac{5}{4}\)

Obliczam \(x\) i \(y\)
\(\{x+y=18\\ \frac{x}{y}= \frac{5}{4}\)
\(\{x=10\\y=8\)

Obliczam \(a\)
\(P_{ABM}= \frac{ax}{2}\)
\(\frac{10a}{2}=25\)
\(a=5\)

Obliczam \(b\)
\(P_{CDM}= \frac{by}{2}\)
\(\frac{8b}{2}=16\)
\(b=4\)

Pole trapezu ze wzoru

anka · Post autor: **anka** » 06 mar 2010, 20:05

1.
Podpowiedź na rysunku:

benchwarmer · Post autor: **benchwarmer** » 06 mar 2010, 20:10

wielkie dzięki Aniu za 2 i rysunek, powiem szczerze, że udało mi się rozwiązać to pierwsze
nie obraże się w sumie jakby ktoś rozwiązał to .4, dla mnie to najczarniejsza magia

anka · Post autor: **anka** » 06 mar 2010, 20:11

3.
\(a\) - I wyraz ciągu
\(a+6r\) - VI wyraz ciągu
\(\{a+6r=6a\\ \frac{1}{2} \cdot [a+(a+6r)] \cdot 7=147\)
\(\{a=6\\r=5\)

anka · Post autor: **anka** » 06 mar 2010, 20:24

4.
\(|x - 1| + |x - 3| = 2\)

\(x \in (- \infty ;1)\)
\(-(x - 1) -(x - 3) = 2\)
\(x=1\) - odrzucamu bo \(x \in (- \infty ;1)\)

\(x \in <1;3)\)
\((x - 1)-(x - 3) = 2\)
\(0=0\)
\(x \in R\)
po uwzględnieniu \(x \in <1;3)\) mamy \(x \in <1;3)\)

\(x \in <3;+ \infty )\)
\((x - 1) + (x - 3) = 2\)
\(x=3\)

\(A=<1;3>\)

B:
\(|x-5| \ge 3\)
\(B=(- \infty ;2> \cup <8;+ \infty )\)

Z rysunkiem sam chyba sobie poradzisz

benchwarmer · Post autor: **benchwarmer** » 06 mar 2010, 20:33

tak, dzieki wielkie
nie wiem tylko czy dobrze zrobilem rozwiazujac zadanie 1 z pomoca kalkulatora naukowego
wyszlo mi ze cos(67,5) = -0,0442276207, co oczywiscie jest MNIEJSZE od 1/2
rozwiazanie wyglada na zbyt proste, ale przynajmniej jest dobrze

anka · Post autor: **anka** » 06 mar 2010, 20:42

Chyba coś nie tak :d kąt jest z I ćwiartki więc musi być liczba większą od zera.

anka · Post autor: **anka** » 06 mar 2010, 20:46

\(cos60^o= \frac{1}{2}\)
\(\alpha=67,5^o\)

Oba kąty są z I cwiartki, a cos jest malejący więc
\(cos60^o>cos67,5^o\)
czyli
\(cos67,5^o< \frac{1}{2}\)

benchwarmer · Post autor: **benchwarmer** » 06 mar 2010, 20:55

HEH no racja, tak myslalem ze nie warto wierzyc maszynom
w sumie to znalazlem jeszcze inny sposob na rozwiazanie tego, mozna wziac |BD| = |CD| a
|BC| = przekatna kwadratu
|AB| = |BC|

podstawic to pod cosinusa i obliczyc, tez wychodzi <1/2
mimo wszystko te rozwiazanie jest mniej przystepne wiec wybieram to z kątami

anka · Post autor: **anka** » 06 mar 2010, 21:01

Kalkulator z kompa podał mi cos67,5=0,3826834323650897717284599840304
Nie liczyleś tego czasem w radianach?

benchwarmer · Post autor: **benchwarmer** » 06 mar 2010, 21:08

niewykluczone ze tak wlasnie zrobilem, uzylem tego z google i w sumie nie wiem czy wzial pod uwage stopie czy radiany

benchwarmer · Post autor: **benchwarmer** » 06 mar 2010, 21:47

mam jeszcze jedno zadanie:

8. Funkcja f jest określona wzorem f(x) = log2x

a) oblicz miejsca zerowe funkcji g(x) = -f(x-3)+2 i sporządź jej wykres
b)podaj liczbę rozwiązań równania |g(x)| = m, w zależności od parametru m

z wykresem myślę, że sobie poradzę, ale co z resztą?

anka · Post autor: **anka** » 06 mar 2010, 22:14

a)
\(f(x) = log_2x\)

\(g(x) = -f(x-3)+2=-log_2(x-3)+2\)
dziedzina \(x>3\)

\(-log_2(x-3)+2=0\)
\(log_2(x-3)=2\)
\(x-3=2^2\)
\(x-3=4\)
\(x=7\)

b)
Rysujesz wykres funkcji \(g(x)=-log_2(x-3)+2\)
Część, ktora znajdzie się pod osią OX odbijasz nad oś OX
Wyobraź sobie wykres funkcji stałej \(y=m\) (czyli prostej równoległej do osi OX). Sprawdź w ilu punktach przetnie wykres funkcji \(|g(x)|\)
Np. jeżeli poprowadzisz taką prostą 'pod wykresem' funkcji \(|g(x)|\), to nie będą miały punktów wspólnych (tak się dzieje dla m<0)
czyli równanie
\(|g(x)| = m\) nie ma rozwiązania dla \(m \in (- \infty ;0)\)

Gdybyś poprowadził prostą \(y=0\) (czyli \(m=0\)), bedzie ona miała jeden punkt wspólny z wykresem funkcji \(|g(x)|\), czyli równanie
\(|g(x)| = m\) ma jedno rozwiąznie dla \(m=0\)

itd

benchwarmer · Post autor: **benchwarmer** » 06 mar 2010, 22:24

okej, co do wykresu to narysowałem go w kolejności:

y1= log2x
y2=-log2x
y3=-log2(x-3)+2
v=[3,2]

mysle ze jest okej, bo wszystko zgadza się z resztą zadania
wielkie dzieki, mam nadzieje ze rozwiazywanie zadan to dla Ciebie przyjemność i nie powinienem czuc się winny skazując altruistów na mozolną pracę haha
jakby co, to mam jeszcze parę w zanadrzu, ale może sobie z nimi poradzę