TRYGONOMETRIA

[mtworek98]

Suma tangensów kątów ostrych trójkąta prostokątnego jest równa 3. Oblicz iloczyn sinusów tych kątów.

[radagast]

jeden kąt ostry to \(\alpha\), drugi \(\frac{\pi}{2} - \alpha\)
i teraz:
\(\tg \alpha +\tg \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) =3\)
\(\tg \alpha +\ctg \alpha =3\)
\(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } + \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } =3\)
\(\frac{\sin^2+\cos^2 \alpha \alpha }{\cos \alpha \sin \alpha } =3\)
\(\frac{1 }{\cos \alpha \sin \alpha } =3\)
\(\frac{1 }{\sin \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \sin \alpha } =3\)
\(\sin \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \sin \alpha = \frac{1}{3}\)

[Panko]

Jeszcze prościej :
\(\tg \alpha + \tg \beta = \frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{c^2}{ab}\)\(=3\)
Do policzenia : \(\sin \alpha \cdot \sin \beta =\frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c}=\frac{ab}{c^2}=\frac{1}{3}\)

[wiktoriacze1]

Potrzebuję bardzo zródło tego zadania, skąd je wziąłeś?:))