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\(a)\)\(2^{ \sin x}\)\(+4^{ \sin x}\)\(+8^{sinx}+... \le 1\)

\(b)\)\(2^{- \cos x}\)\(+\)\(4^{- \cos x}\)\(+\)\(8^{- \cos x}\)\(+... \le 1\)

\(c)\)\(\log (x-2)\)\(+ \log ^{2}(x-2)\)\(+ \log ^{3}(x-2)\)\(+...<1\)

\(d)\)\(1+ \log _{\frac{1}{2}}\)\(\sin x\)\(+ \log ^{2}_{\frac{1}{2}}\)\(\sin x\)\(+ \log^{3} _{\frac{1}{2}}\)\(\sin x+... \le 2\)

a)
\(a_1=2^{sinx}=t\\a_2=2^{2\cdot sinx}\\q=2^{sinx}=t\;\;\;\;\;i\;\;\;\;t \neq 1\;\;czyli\;\;sinx \neq 0\\|2^{sinx}|<1\\sinx<0\\\frac{t}{1-t}\le 1\\ \frac{t-1+t}{1-t} \le 0\\ \frac{2t-1}{1-t}\le 0\\ t\in <\frac{1}{2};1)\)
\(2^{sinx} \ge \frac{1}{2}\;\;\;\;i\;\;\;\;\;2^{sinx} < 1\\sinx \ge -1\;\;\;\;i\;\;\;sinx < 0\;\;\;\)
\(sinx\ge -1\;\;\;\;sinx<0\\x\in ((2k-1)\pi;2k\pi)\)

b)
Rozwiązuje się analogicznie i otrzymasz...wynik końcowy:
\(cosx>0\\x\in (- \frac{\pi}{2}+2k\pi\;;\; \frac{\pi}{2}+2k\pi)\)
Podstawienia:
\(t=2^{-cosx}\)
Wzór na sumę szeregu
\(\frac{t}{1-t}\)
itd...