forum.zadania.info

504
funkcja f każdej wartości parametru m, dla której równanie
\((m+2)^2x^2+6(m+2)x+m^2=0\)
ma dwa różne pierwiastki równania, przyporządkowuje iloczyn tych pierwiastków.
a) wyznacz dziedzinę funkcji f
b) wyznacz przedziały, w których funkcja f jest rosnąca

alibaba8000 pisze:504
funkcja f każdej wartości parametru m, dla której równanie
\((m+2)^2x^2+6(m+2)x+m^2=0\)
ma dwa różne pierwiastki równania, przyporządkowuje iloczyn tych pierwiastków.
a) wyznacz dziedzinę funkcji f

\(m \neq -2\)

\(\Delta = (6m+12)^2 - 4m^2 (m+2)^2 = 36m^2+144m+144-4m^4-16m^3-16m^2 =\)
\(= -4m^4-16m^3+20m^2+144m+144\)

\(-4m^4-16m^3+20m^2+144m+144 > 0\)
\((−4x^3−28x^2−64^x−48)(x-3) > 0\)
\((−4x^2−16x−16)(x+3)(x-3) > 0\)

\(\Delta = 256 - 256 = 0\)

\(x_{1} = -3\)
\(x_{2} = \frac{16}{-8} = -2\)
\(x_{3} = 3\)


Wzór funkcji ze wzorów Vieta

\(f(m) = \frac{m^2}{(m+2)^2}\)

\(D_{f} \in (-3; 3) \bez \left\{-2\right\}\)

alibaba8000 pisze:504
funkcja f każdej wartości parametru m, dla której równanie
\((m+2)^2x^2+6(m+2)x+m^2=0\)
ma dwa różne pierwiastki równania, przyporządkowuje iloczyn tych pierwiastków.
b) wyznacz przedziały, w których funkcja f jest rosnąca

\(f(m) = \frac{m^2}{(m+2)^2}\)

\(f'(m) = \frac{2m(m+2)^2 - m^2(2m+4)}{(m+2)^4} = \frac{2m^3+8m^2+8m-2m^3-4m^2}{(m+2)^4} =\)
\(= \frac{4m^2+8m}{(m+2)^4} = \frac{4m(m+2)}{(m+2)^4} = \frac{4m}{(m+2)^3}\)

\(4m = 0\)
\(m = 0\)

\((m+2)^3 = 0\)
\(m = -2\)

\(f'(-3) = 12\)
\(f'(-1) = -4\)
\(f'(1) = 0.15\)

Funkcja rośnie w przedziałach \(x\in (-\infty; -2) \cup [0; \infty)\)

Jakby spoko tok rozumowania ale nie bez powodu mamy podpunkt a).
Pamiętaj, że określając monotoniczność działasz w wyznaczonej dziedzinie funkcji. *Dziedzina (-3;-2) u (-2;3)

Funkcja ta jest więc rosnąca w przedziałach (-3;-2) u (0;3)