określ liczbę ekstemów funkcji

[alibaba8000]

520
określ liczbę ekstemów funkcji \(f(x)= \frac{x-m}{x^2-2x-3}\)
w zależności od wartości parametru m.

[Binio1]

520
określ liczbę ekstemów funkcji \(f(x)= \frac{x-m}{x^2-2x-3}\)
w zależności od wartości parametru m.

\(f'(x) = \frac{(x-m)'(x^2-2x-3)-(x-m)(x^2-2x-3)'}{(x^2-2x-3)^2} = \frac{x^2-2x-3-(x-m)(2x-2)}{(x^2-2x-3)^2} =\)
\(= \frac{x^2-2x-3-2x^2+2x+2xm-2m}{(x^2-2x-3)^2} = \frac{-x^2-3+2xm-2m}{(x^2-2x-3)^2}\)

\(-x^2+2mx-2m-3 = 0\)

\(\Delta = 4m^2-8m-12\)

\(4m^2-8m-12 > 0\)

\(\Delta_{m} = 64 + 192 = 256\)

\(m_{1} = \frac{8-16}{8} = -1\)
\(m_{2} = \frac{24}{8} = 3\)

Dla \(m \in (-\infty; -1) \cup (3; \infty)\) funkcja ma 2 ekstrema
Dla \(m = -1\) lub \(m = 3\) funkcja ma jedno ekstremum
Dla \(m\in(-1; 3)\) funkcja nie ma ekstremów