Rownania rozniczkowe

[djarta]

Wyznacz rozwiązanie szczególne równania różniczkowego przy warunku początkowym x=1, y=1:

a) \(xy=(a+x)(b+y) \frac{dy}{dx}\)
b)\(x \sqrt{1+y^2} + y \sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx}=0\)

[radagast]

Wyznacz rozwiązanie szczególne równania różniczkowego przy warunku początkowym x=1, y=1:

a) \(xy=(a+x)(b+y) \frac{dy}{dx}\)

\(xy=(a+x)(b+y) \frac{dy}{dx}\)
\(\frac{x}{a+x} dx= \frac{b+y}{y} dy\)
\(\int \frac{x}{a+x} dx= \int\frac{b+y}{y} dy\)
\(\int \frac{a+x-a}{a+x} dx= \int\frac{b+y}{y} dy\)
\(\int 1-\frac{a}{a+x} dx= \int\frac{b}{y} +1dy\)
\(x-a\ln |a+x| = b\ln |y|+y+C\)
przy czym \(1-a\ln |a+1| = b\ln |1|+1+C\)
czyli \(C=-a\ln |a+1|\)
No to szukanym rozwiązaniem szczególnym jest \(x-a\ln |a+x| = b\ln |y|+y-a\ln |a+1|\)
wypada jeszcze z tego wyznaczyć y. Spróbuj sam(a).

[panb]

Wyznacz rozwiązanie szczególne równania różniczkowego przy warunku początkowym x=1, y=1:

b)\(x \sqrt{1+y^2} + y \sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx}=0\)

\(x \sqrt{1+y^2} + y \sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx}=0\\
y\sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx}=-x \sqrt{1+y^2}\\
\frac{ydy}{ \sqrt{1+y^2} }=- \frac{xdx}{ \sqrt{1+x^2} } \So \sqrt{1+y^2}=-\sqrt{1+x^2}+C\)
Z warunku \(x=1,\,\, y=1\), mamy \(\sqrt{2} =- \sqrt{2}+C \So C=2\sqrt2\)

Po nietrudnych operacja (przenoszenie , podnoszenie do kwadratu i pierwiastkowanie), dostajemy
\(y= \sqrt{ \left( 2\sqrt2-\sqrt{1+x^2}\right)^2-1 }\) - czy coś w tym stylu