Udowodnij, że

[alibaba8000]

Udowodnij, że
b) jeżeli \(a,b \in R-{1}\) i \(a^2+b^2=23ab\), \(log_5(a+b)=log_5 \sqrt{ab}+1\)

[Arni123]

Z równości \(log_5(a+b)=log_5 \sqrt{ab}+1\) wynika, że \(5^{log_5(a+b)}=5^{log_5 \sqrt{ab}+1}=5\cdot 5^{log_5 \sqrt{ab}}\), czyli z własności logarytmów \(a^{log_a{x}}=x\) mamy, że \(a+b=5\sqrt{a}\). Podnosząc obie strony do kwadratu dostajemy:
\(a^2+2ab+b^2=25ab\), ale z treści zadania \(a^2+b^2=23ab\), zatem mamy \(23ab +2ab=25ab\), co jest oczywiście prawdą.