Strona 1 z 1
Styczna i sieczna w okręgu
: 02 wrz 2016, 17:47
autor: Januszgolenia
Przez punkt P poprowadzono styczną do okręgu w punkcie A i sieczną okręgu przecinającą ten okrąg w punktach B i C. Wykaż, że jeśli IPBI:IBCI=1:3, to IPBI<IABI<IBCI.
: 03 wrz 2016, 15:23
autor: Arni123
Adres do rysunku :
https://www.dropbox.com/s/65f596roxc5j9 ... g.png?dl=0
Dowód: Oznaczmy długość odcinka
\(PB\) przez
\(a\). Wówczas stąd, że
\(\frac{|PB|}{|BC|}=\frac{1}{3}\)wiemy, że
\(|BC|=3|PB|=3a\). Z twierdzenia o stycznej i siecznej wiemy, że
\(|PA|^2=|PC|\cdot |PB|\), czyli
\(|PA|^2=4a\cdot a\) zatem
\(|PA|^2=4a^2\), a stąd
\(|PA|=2a\). Z warunku trójkąta wiemy, że
\(|PB|+|PA|>|AB|\), czyli
\(a+2a>|AB|\), więc
\(3a>|AB|\). Jednakże
\(3a=|BC|\), czyli
\(|AB|<|BC|\). Podobnie zauważmy, że
\(|PB|+|AB|>|PA|\). Stosując nasze oznaczenia mamy, że
\(a+|AB|>2a\), czyli
\(|AB|>a\), ale
\(a=|PB|\) stąd
\(|AB|>|PB|\). Stąd widzimy, że
\(|PB|<|AB|<|BC|\).