forum.zadania.info

Wykaż że dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\), liczba postaci \(4^{2n}-1\) dzieli się przez 5.
Przedstawię swoje rozwiązanie i prosiłbym o sprawdzenie.

\(4^{2n}-1 = 5s\) \(s \in N\)

*dla \(n=1\)
\(16-1=15\) prawda

*zakładam dla n=k

\(4^{2k}-1=5s\)

*mnoże obie strony przez \(4\)

\(16^{2(k+1)}-4=20s\) \(\So\) \(4(4^{2k}-1)=20s\) \(\So\) (tutaj korzystam z założenia) \(4(5s)=20s\)

czyli \(20s=20s\) zawsze prawdziwe \(20\) dzieli się przez \(5\)
CNW

Artegor pisze: \(4^{2k}-1=5s\)

*mnoże obie strony przez \(4\)

\(16^{2(k+1)}-4=20s\)

jak pomnożysz lewą stronę przez 4 to otrzymasz:

\((4^{2k}-1)\cdot 4=4^{2k+1}-4\)

zakładamy, że \(4^{2k}-1=5s\)
pokażemy, że \(4^{2(k+1)}-1=5t\)

\(4^{2(k+1)}-1=4^{2k+2}-1=4^{2k}\cdot 4^2-1=(5s+1)\cdot 16-1=80s+16-1=80s+15=5(16s+3)=5t\)