1. Udowodnij ze wartość wielomianu \(\ x^5-5x^3+4x\) dla każdej liczby calkowitej jest liczbą podzielną przez 120.
2. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej p liczba \(\ \frac{1}{24}p^4- \frac{1}{4}p^3+ \frac{11}{24}p^2- \frac{1}{4}p\) jest całkowita
3. Uzasadnij ze nie istnieje liczba naturalna dodatnia n, dla której liczba \(\ n^4+4n^3+8n^2+16n+16\)byłaby kwadratem pewnej liczby naturalnej
wielomiany
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
\(x^5-5x^3+4x=x(x^4-5x^24)=x(x^4-x^2-4x^2+4)=\\=(x(x^2(x^2-1)-4(x^2-1))=x(x^2-1)(x^2-4)=\\=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)\)
Ta liczba jest iloczynem pięciu kolejnych liczb całkowitych. Wśród tych liczb jest jedna podzielna przez 5, co najmniej jedna podzielna przez 3 oraz co najmniej dwie parzyste, z których jedna dzieli się przez 4. Czyli iloczyn tych liczb dzielić się musi przez \(2\cdot3\cdot4\cdot5=120\).
\(x^5-5x^3+4x=x(x^4-5x^24)=x(x^4-x^2-4x^2+4)=\\=(x(x^2(x^2-1)-4(x^2-1))=x(x^2-1)(x^2-4)=\\=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)\)
Ta liczba jest iloczynem pięciu kolejnych liczb całkowitych. Wśród tych liczb jest jedna podzielna przez 5, co najmniej jedna podzielna przez 3 oraz co najmniej dwie parzyste, z których jedna dzieli się przez 4. Czyli iloczyn tych liczb dzielić się musi przez \(2\cdot3\cdot4\cdot5=120\).
2.
\(\frac{1}{24}p^4-\frac{1}{4}p^3+\frac{11}{24}p^2-\frac{1}{4}p=\frac{p^4-6p^3+11p^2-6p}{24}\)
Pokażemy, że liczba w liczniku dzieli się przez 24:
\(p^4-6p^3+11p^2-6p=p(p^3-6p^211p-6)=p(p^3-p^2-5p^2+5p+6p-6)=\\=p(p^2(p-1)-5p(p-1)6(p-1))=\\=p(p-1)(p^2-5p+6)=\\=p(p-1)(p-2)(p-3)\)
Liczba w liczniku jest iloczynem czterech kolejnych liczb całkowitych. Wśród nich jest jedna podzielna przez 4, oprócz tego jedna podzielna przez 2 i co najmniej jedna podzielna przez 3. Ich iloczyn więc dzieli się przez \(2\cdot3\cdot4=24\)
Liczba w liczniku dzieli się przez 24, więc liczba dana w zadaniu jest liczbą całkowitą.
\(\frac{1}{24}p^4-\frac{1}{4}p^3+\frac{11}{24}p^2-\frac{1}{4}p=\frac{p^4-6p^3+11p^2-6p}{24}\)
Pokażemy, że liczba w liczniku dzieli się przez 24:
\(p^4-6p^3+11p^2-6p=p(p^3-6p^211p-6)=p(p^3-p^2-5p^2+5p+6p-6)=\\=p(p^2(p-1)-5p(p-1)6(p-1))=\\=p(p-1)(p^2-5p+6)=\\=p(p-1)(p-2)(p-3)\)
Liczba w liczniku jest iloczynem czterech kolejnych liczb całkowitych. Wśród nich jest jedna podzielna przez 4, oprócz tego jedna podzielna przez 2 i co najmniej jedna podzielna przez 3. Ich iloczyn więc dzieli się przez \(2\cdot3\cdot4=24\)
Liczba w liczniku dzieli się przez 24, więc liczba dana w zadaniu jest liczbą całkowitą.
3.
Nie jestem pewna, czy dobrze myślę, ale wydaje mi się, że gdyby taka liczba istniała, to musiałaby być postaci:\(n^2+an+b\)
\((n^2+an+b)^2=n^4+a^2n^2+b^2+2an^3+2bn^2+2abn=\\=n^4+2an^3+(a^2+2b)n^2+2abn+b^2\)
Wtedy musi być:
\(\begin{cases}2a=4\\a^2+2b=8\\2ab=16\\b^2=16 \end{cases} \\ \begin{cases}a=4\\b=4\ \vee \ b=-4\\2ab=16\\a^2+2b=16 \end{cases}\)
Jeśli:
\(\begin{cases}a=2\\b=4 \end{cases} \Rightarrow 2ab=16 \wedge a^2+2b=12 \neq 8\)
Jeśli:
\(\begin{cases}a=2\\b=-4 \end{cases} \Rightarrow 2ab=-16 \neq 16\)
Czyli taka liczba nie istnieje.
Nie jestem pewna, czy dobrze myślę, ale wydaje mi się, że gdyby taka liczba istniała, to musiałaby być postaci:\(n^2+an+b\)
\((n^2+an+b)^2=n^4+a^2n^2+b^2+2an^3+2bn^2+2abn=\\=n^4+2an^3+(a^2+2b)n^2+2abn+b^2\)
Wtedy musi być:
\(\begin{cases}2a=4\\a^2+2b=8\\2ab=16\\b^2=16 \end{cases} \\ \begin{cases}a=4\\b=4\ \vee \ b=-4\\2ab=16\\a^2+2b=16 \end{cases}\)
Jeśli:
\(\begin{cases}a=2\\b=4 \end{cases} \Rightarrow 2ab=16 \wedge a^2+2b=12 \neq 8\)
Jeśli:
\(\begin{cases}a=2\\b=-4 \end{cases} \Rightarrow 2ab=-16 \neq 16\)
Czyli taka liczba nie istnieje.