forum.zadania.info

Rozwiąż nierówność:

a) \(3-6x+12x^2-24x^3+... \ge 8x\)
b) \(x+ \frac{1}{3}x+ \frac{1}{9}x+...=x^2\)
c) \(\frac{2x-9}{x}+( \frac{2x-9}{x})^2+( \frac{2x-9}{x})^3+... \le 1\)

http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=6&t=568

Dopisz tex po obu stronach wyrażeń i zadania będą czytelne.

Podaję Ci link do przykładów poprawnych zapisów.

a)
\(a_1=3\\q=-2x\\S= \frac{a_1}{1-q}= \frac{3}{1+2x}\;\;jeśli\;\;\;|q|<1\;\;czyli\;\;|-2x|<1\\|-2|\cdot |x|<1\\2|x|<1\\|x|< \frac{1}{2}\\x\in (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})\)
\(\frac{3}{1+2x}\ge 8x\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;x\in (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})\)
\(\frac{3}{1+2x}- \frac{8x(1+2x)}{1+2x} \ge 0\\ \frac{3-8x-16x^2}{1+2x} \ge 0\)
\(-16x^2-8x+3=-16(x+ \frac{3}{4})(x- \frac{1}{4})\)
\((-16x^2-8x+3)(2x+1) \ge 0\\-16(x+ \frac{3}{4})(x- \frac{1}{4}) (2x+1)\ge 0\;/:(-16)\)
\((x+ \frac{3}{4})(x- \frac{1}{4})(2x+1)\le 0\)
Rysujesz "wężyk" czyli krzywą znaków poczynając od prawej strony z góry przez miejsca zerowe :1/4;-1/2;-3/4.
Ustalasz przedział,w którym krzywa jest pod osią OX. Pamiętaj o dziedzinie dla tej nierówności.
\(x\in (- \frac{1}{2}; \frac{1}{4})\)

b)
\(a_1=x\\q=\frac{1}{3}\\S= \frac{x}{1- \frac{1}{3} }= \frac{x}{ \frac{2}{3} }= \frac{3x}{2}\)
Równanie ma postać:
\(\frac{3x}{2}=x^2\\2x^2-3x=0\\x(2x-3)=0\\x_1=0\;\;\;\;lub\;\;\;\;x_2= \frac{3}{2}\)

c)
\(a_1= \frac{2x-9}{x}\\q= \frac{2x-9}{x}\)
Suma istnieje gdy |q|<1
\(| \frac{2x-9}{x}|<1\\ \frac{2x-9}{x}>-1\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\; \frac{2x-9}{x}<1\)
\(\frac{2x-9+x}{x}>0\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\; \frac{2x-9-x}{x}<0\;\;\;i\;\;\;\;\;x\neq 0\)
\((3x-9)x>0\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;(x-9)x<0\)
\(x\in (- \infty ;0) \cup (3;+ \infty )\;\;\;\;i\;\;\;\;x\in (0;9)\)
W części wspólnej jest dziedzina tej nierówności:
\(D=(3;9)\)
Nierówność ma postać:
\(S \le 1\;\;\;\;i\;\;\;S= \frac{ \frac{2x-9}{x} }{1- \frac{2x-9}{x} }= \frac{2x-9}{x-2x+9}= \frac{2x-9}{-x+9}\)
\(\frac{2x-9}{-x+9} \le 1\\ \frac{2x-9}{-x+9}- \frac{-x+9}{-x+9} \le 0\)
\(\frac{3x-18}{9-x} \le 0\;/:3\\ \frac{x-6}{9-x} \le 0\\(x-6)(9-x) \le 0\;\;\;i\;\;\;\;x\in (3;9)\)
\(x \in (- \infty ;6) \cup (9;+ \infty )\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;x\in (3;9)\)
W części wspólnej jest:
\(x\in (3;6)\)