Tożsamości trygonometryczne

[Klusiek2]

Sprawdz czy podane rownosci sa tozsamosciami trygonometrycznymi. Podaj konieczne zalozenia:
a)\(\frac{ \cos \alpha + \tg \alpha }{ \sin \alpha * \cos \alpha } = \frac{1}{ \sin \alpha} + \frac{1}{cos^2 \alpha }\)
b)\(\frac{ \sin \alpha + \ctg \alpha }{ \sin \alpha * \cos \alpha }= \frac{1}{ \cos \alpha } + \frac{1}{ \sin ^2 \alpha }\)
c) \((1- \cos \alpha )*( \frac{1}{ \sin \alpha }+ \frac{1}{ \tg \alpha })- \sin \alpha =0\)

[alexx17]

Z czym jest problem? Wszystkie działania opierają się na prostych przekształceniach..

\(\tg \alpha = \frac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha} ,\ \ \ \ \ \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\)

[radagast]

\(L=\frac{ \cos \alpha + \tg \alpha }{ \sin \alpha \cdot \cos \alpha } =\frac{ \cos \alpha + \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } }{ \sin \alpha \cdot \cos \alpha } = \frac{ \cos^2 \alpha +\sin \alpha }{ \sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha } = \frac{ \cos^2 \alpha }{ \sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha }+ \frac{\sin \alpha }{ \sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha } =\frac{1}{ \sin \alpha} + \frac{1}{cos^2 \alpha }=P\)
konieczne założenia:
\(\sin \alpha \neq 0\\\cos \alpha \neq 0\)
czyli
\(\alpha \neq \frac{ \pi }{2} +k\pi,\ k \in C\)
\(L=\frac{ \sin \alpha + \ctg \alpha }{ \sin \alpha \cdot \cos \alpha }= \frac{ \sin \alpha + \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } }{ \sin \alpha \cdot \cos \alpha }= \frac{ \sin^2 \alpha + \cos \alpha }{ \sin ^2 \alpha \cdot \cos \alpha }= \frac{ \sin^2 \alpha }{ \sin ^2 \alpha \cdot \cos \alpha }+ \frac{ \cos \alpha }{ \sin ^2 \alpha \cdot \cos \alpha }=\frac{1}{ \cos \alpha } + \frac{1}{ \sin ^2 \alpha }=P\)
konieczne założenia:
\(\sin \alpha \neq 0\\\cos \alpha \neq 0\)
czyli
\(\alpha \neq \frac{ \pi }{2} +k\pi,\ k \in C\)

c) \((1- \cos \alpha )*( \frac{1}{ \sin \alpha }+ \frac{1}{ \tg \alpha })- \sin \alpha =0\)

\(L=(1- \cos \alpha ) \cdot ( \frac{1}{ \sin \alpha }+ \frac{1}{ \tg \alpha })- \sin \alpha =(1- \cos \alpha ) \cdot ( \frac{1 }{ \sin \alpha }+ \frac{\cos \alpha}{ \sin \alpha })- \sin \alpha =(1- \cos \alpha ) \cdot \left( \frac{1+\cos \alpha}{ \sin \alpha }\right) - \sin \alpha =\\ \left( \frac{1-\cos^2 \alpha}{ \sin \alpha }\right) - \sin \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{ \sin \alpha } - \sin \alpha =\sin \alpha-\sin \alpha=0=P\)
konieczne założenia:
\(\sin \alpha \neq 0\\\cos \alpha \neq 0\)
czyli
\(\alpha \neq \frac{ \pi }{2} +k\pi,\ k \in C\)