Zadanie dowodowe

[dariuszorzel1]

Cześć, mam problem z takim zadaniem:

1.Wykaż, że żadna liczba naturalna postaci 6n+23 nie jest kwadratem liczby naturalnej.

[arksoftware]

Twierdzenie:
Każda liczba będąca kwadratem liczby naturalnej z dzielenia przez 3 daje resztę 0 lub 1.

Dowód twierdzenia:
Dowolną liczbę naturalną można zapisać jako \(3k\), \(3k+1\) lub \(3k+2\) (w zależności od tego jaką daje resztę z dzielenia przez 3). Każdą z tych opcji podnosze do kwadratu:
\((3k)^2 = 9k^2 = 3 \cdot 3k^2 + 0\)
\((3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3 \cdot k(3k+2) + 1\)
\((3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3 \cdot (3k^2 + 4k + 1) + 1\)
Zapisałem wynik w takiej postaci, aby było widać, że otrzymaliśmy liczbę postaci \(3 \cdot x+0\) lub \(3 \cdot x+1\), zatem z dzielenia przez 3 daje resztę 0 lub 1.

Wracając do zadania:
\(6n+23 = 6n + 21 +2 = 3 \cdot (2n + 7) + 2\)
Zatem dowolna liczba naturalna postaci \(6n+23\) daje z dzielenia przez 3 resztę 2. Dlatego wiadomo, że nie może ona być kwadratem liczby naturalnej.