Sprawdź, czy prawdziwe są następujące tożsamości

[katie12]

Sprawdź, czy prawdziwe są następujące tożsamości:

a) \(sin( \alpha + \beta )sin( \alpha - \beta )= sin^2 \alpha -sin^2 \beta\)

c) \(cos \alpha cos( \alpha + \beta )+sin \alpha sin( \alpha + \beta )=cos \beta\)

[eresh]

Sprawdź, czy prawdziwe są następujące tożsamości:

a) \(sin( \alpha + \beta )sin( \alpha - \beta )= sin^2 \alpha -sin^2 \beta\)

\(\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)=\\=\sin^2\alpha\cos^2\beta-\cos^2\alpha\sin^2\beta=\sin^2\alpha(1-\sin^2\beta)-(1-\sin^2\alpha)\sin^2\beta=\\
=\sin^2\alpha-\sin^2\alpha\sin^2\beta-\sin^2\beta+\sin^2\alpha\sin^2\beta=\sin^2\alpha\sin^2\beta\)

[eresh]

Sprawdź, czy prawdziwe są następujące tożsamości:

c) \(cos \alpha cos( \alpha + \beta )+sin \alpha sin( \alpha + \beta )=cos \beta\)

\(\cos \alpha \cos( \alpha + \beta )+\sin \alpha \sin( \alpha + \beta )=\\
=\cos\alpha(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta))+\sin\alpha(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)=\\
=\cos^2\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha+\sin^2\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\sin\alpha=\\
=\cos\beta (\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\cos\beta\)